6. Нормальное уравнение плоскости - описание, примеры, решение задач.
6.1. Нормальное уравнение плоскости – описание и пример.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz.
Рассмотрим
плоскость, которая удалена на расстояние
p (
)
единиц от начала координат в положительном
направлении нормального
вектора плоскости
.
Будем считать, что длина
вектора
равна
единице. Тогда его координаты равны
направляющим косинусам, то есть,
,
причем
.
Обозначим расстояние от точки до
плоскости как
,
то есть, точка N
лежит на плоскости и длина отрезка ON
равна p.
Для наглядности отметим все данные на
чертеже.
Получим уравнение
этой плоскости. Возьмем точку трехмерного
пространства
.
Тогда ее радиус вектор
имеет
координаты
,
то есть,
.
Очевидно, что множество точек
определяют
описанную ранее плоскость тогда и только
тогда, когда числовая
проекция вектора
на
направление вектора
равна
p,
то есть,
(смотрите
рисунок ниже).
Тогда определение
скалярного произведения
векторов
и
дает
нам следующее равенство
.
Это же скалярное
произведение в координатной форме
представляется как
.
Сопоставление двух последних равенств
дает нам искомое уравнение плоскости
.
Перенесем p
в левую часть, и мы получим уравнение
,
которое называется нормальным
уравнением плоскости
или уравнением
плоскости в нормальном виде.
Нормальное уравнение плоскости иногда
называют нормированным
уравнением плоскости.
Итак, нормальное уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние p в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости .
Следует заметить,
что косинусы зачастую явно не фигурирует
в нормальном уравнении плоскости, так
как
и
-
это некоторые действительные числа,
сумма квадратов которых равна единице.
Пример нормального
уравнения плоскости. Пусть
плоскость задана в прямоугольной системе
координат Oxyz
уравнением в нормальном виде
.
Здесь
,
нормальный вектор плоскости
имеет
координаты
,
его длина равна единице, так как
.
Более того, заданная плоскость находится
на расстоянии 7
единиц от начала координат в направлении
вектора
,
так как p = 7.
Очевидно, что
нормальное уравнение плоскости
представляет собой общее
уравнение плоскости
вида
,
в котором числа A,
B
и C
таковы, что длина нормального вектора
плоскости
равна
единице, а число D
неотрицательно.
Осталось разобраться
с вопросом: «Как узнать, действительно
ли перед нами нормальное уравнение
плоскости»? Ответить на него достаточно
просто: если выполняются оба условия
и
,
то мы имеем уравнение плоскости в
нормальном виде, если же хотя бы одно
из условий не выполняется, то уравнение
плоскости не является нормальным.
Пример. Есть ли среди указанных уравнений уравнения плоскости в нормальном виде?
;
;
.
Решение. Начнем
с первого уравнения. Проверим, равна ли
длина нормального вектора плоскости
единице.
Вычислим длину:
.
Осталось убедиться, что число p
в этом уравнении положительно. Это
действительно так, так как
.
Таким образом, первое уравнение плоскости
является уравнением плоскости в
нормальном виде.
Второе уравнение
плоскости не является нормальным
уравнением плоскости, так как не
выполняется условие
(в
этом уравнении
).
В третьем уравнении
длина нормального вектора
не
равна единице:
.
Поэтому оно не является уравнением
плоскости в нормальном виде.
Ответ. Только первое уравнение является нормальным уравнением плоскости.