4.3. Неполное общее уравнение плоскости.

Если все числа А, В, С и D отличны от нуля, то общее уравнение плоскости называется полным. В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным.

Рассмотрим все возможные общие неполные уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Пусть D = 0, тогда имеем общее неполное уравнение плоскости вида . Эта плоскость в прямоугольной системе координт Oxyz проходит через начало координат. Действительно, при подстановке координат точки в полученное неполное уравнение плоскости мы приходим к тождеству .

При , или , или имеем неполные общие уравнения плоскостей , или , или соответственно. Эти плоскости параллельны координатным осям Ox, Oy и Oz соответственно. При D = 0 плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также можно отметить, что неполные общие уравнения плоскости , и определяют плоскости, перпендикулярные координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy соответственно.

При , или , или имеем общие неполные уравнения плоскостей , или , или соответственно. Эти уравнения задают плоскости, параллельные координатным плоскостям Oxy, Oxz и Oyz соответственно и проходящие через точки и соответственно. При D = 0 получаем уравнения самих координатных плоскостей Oxy, Oxz и Oyz, они имеют вид z = 0, y = 0 и x = 0 соответственно.

Разберем решения нескольких примеров на составление неполного уравнения плоскости.

Пример. Напишите общее уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Oyz и проходящей через точку .

Решение. Плоскость, которая параллельна координатной плоскости Oyz, может быть задана общим неполным уравнением плоскости вида . Так как точка принадлежит плоскости по условию, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости , то есть, должно быть справедливо равенство . Отсюда находим . Таким образом, искомое уравнение имеет вид .

Второй способ решения этой задачи. Так как плоскость, общее уравнение которой нам требуется составить, параллельна плоскости Oyz, то в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор плоскости Oyz. Нормальным вектором координатной плоскости Oyz является координатный вектор . Теперь мы знаем нормальный вектор плоскости и точку плоскости, следовательно, можем записать ее общее уравнение:

Ответ.

Пример. Составьте общее уравнение плоскости, которая перпендикулярна координатной плоскости Oxy, проходит через начало координат и точку .

Решение. Плоскость, перпендикулярная координатной плоскости Oxy описывается общим неполным уравнением плоскости вида . Так как по условию плоскость проходит через начало координат, то D = 0, следовательно, уравнение плоскости примет вид . Осталось найти значение . Из условия нам известно, что плоскость проходит через точку , тогда ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Следовательно, справедливо равенство , откуда находим . Теперь мы можем написать искомое общее уравнение плоскости, оно имеет вид .

Ответ.