3. Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости.

3.1. Уравнение плоскости – определение.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и задана плоскость.

Плоскость, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Между координатами каждой точки плоскости можно установить зависимость с помощью уравнения, которое называют уравнением плоскости.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве – это уравнение с тремя переменными x, y и z, которому удовлетворяют координаты любой точки заданной плоскости и не удовлетворяют координаты точек, лежащих вне данной плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки плоскости. Если в уравнение плоскости подставить координаты точки, не лежащей в этой плоскости, то оно обратится в неверное равенство.

3.2. Общее уравнение плоскости.

Приведем формулировку теоремы, которая дает нам вид уравнения плоскости.

Теорема. Всякое уравнение вида , где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида .

Уравнение называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если не придавать числам А, В, С и D конкретных значений, то общее уравнение плоскости называют уравнением плоскости в общем виде.

Следует заметить, что уравнение вида , где - некоторое действительное число, отличное от нуля, будет определять ту же самую плоскость, так как равенства и эквивалентны. К примеру, общие уравнения плоскости и задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Немного поясним смысл озвученной теоремы. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой плоскости соответствует ее уравнение общего вида , а каждому уравнению соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Другими словами, плоскость и ее общее уравнение неразделимы.

Если все коэффициенты А, В, С и D в общем уравнении плоскости отличны от нуля, то оно называется полным. В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным.

Неполными уравнениями задаются плоскости, параллельные координатным осям, проходящие через координатные оси, параллельные координатным плоскостям, перпендикулярные координатным плоскостям, совпадающие с координатными плоскостями, а также плоскости, проходящие через начало координат.

Например, плоскость параллельна оси абсцисс и перпендикулярна координатной плоскости Oyz, уравнение z = 0 определяет координатную плоскость Oxy, а общее уравнение плоскости вида соответствует плоскости, проходящей через начало координат.

Отметим также, что коэффициенты A, B и C в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.