2 Диференціальні рівняння першого порядку: основні поняття, задача Коші

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію та її похідну .

Якщо це рівняння можна розв’язати відносно , то воно має нормальний вид:

Умова називається початковою умовою ( ).

Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається функція , яка залежить від та однієї довільної сталої і задовольняє умовам:

1. задовольняє диференціальному рівнянню при довільному (конкретному) значенні .

2. Яка б не була початкова умова , завжди можна знайти таке значення довільної сталої , що функція буде задовольняти початковій умові.

Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, який отримується з загального розв’язку при конкретному значенні довільної сталої .

З геометричної точки зору загальний розв’язок диференціального рівняння визначає на площині сім’ю інтегральних кривих.

Задача знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння за його загальним розв’язком при заданій початковій умові називається задачею Коші.

З геометричної точки зору розв’язати задачу Коші – це значить серед сім’ї інтегральних кривих вибрати ту одну, яка буде проходити через точку .

3. Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними

Рівняння виду називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Замінити на : . Відокремити змінні . Проінтегрувати обидві частини рівняння , G(y)=F(x)+C- загальний розв'язок .

4. Лінійне диференціальне рівняння І порядку

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

(17.1)

де і - задані функції.

В окремому випадку і можуть бути сталими величинами.

Це рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки . Тоді . Підставимо і в (17.1). Маємо:

(17.2) Оскільки у виразі для один множник можна вибрати довільно, а другий підібрати, то нехай . Звідки знаходимо . З рівняння (17.2), підставляючи знайдений вираз , знаходимо .

Загальний розв’язок записуємо у вигляді:

Приклад Розв’язати рівняння

Лекція 18 Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Застосування диференціальних рівнянь до розв’язування

прикладних задач

Диференціальні рівняння другого порядку Рівняння виду називається найпростішим диференціальним рівнянням другого порядку. Для розв’язання треба двічі проінтегрувати праву частину рівняння: ; - загальний розв'язок диференціального рівняння.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд:

Складаємо характеристичне рівняння, для цього заміняємо

у" = к²; у' = к; у=1 ,

.

Корені його характеристичного рівняння можуть бути:

1) дійсними і різними:

2) дійсними і рівними:

3) комплексно-спряженими: .

Їм відповідають наступні загальні розв'язки рівняння

1)

2)

3)

Застосування диференціальних рівнянь до розв’язування прикладних задач

Задача 1. Моторний човен рухається у спокійній воді зі швидкістю 1,5 м/с. Через 4с після вимкнення двигуна його швидкість зменшилась до 1 м/с. Враховуючи опір води пропорційний швидкості руху човна, знайти його швидкість через 50с після вимкнення двигуна.

Розв’язування:

Нехай – швидкість човна після вимкнення двигуна в момент часу . Тоді залежність між і має вигляд , де - маса човна.

Задача 2

За 10 хвилин тіло охолоджується від 100^о до 60^о. Температура навколишнього повітря дорівнює 20^о. Враховуючи, що швидкість охолодження тіла пропорційна різниці температур тіла і навколишнього повітря, визначити, за який час тіло охолоджується до 30^о.

Розв’язування:

Нехай - температура тіла у момент часу . Тоді диференціальний закон охолодження тіла має вигляд: .

Задача 3

Знайти рівняння кривої, що проходить через точку (а ; а), якщо довжина відрізку осі абсцис, що відтинається її дотичною, дорівнює довжині цієї дотичної.

у

у

х x

Рисунок 18.1

Розв’язування:

За геометричним змістом похідної , де - кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції . З іншого боку, (рис.18.1)

Отже, .

Із

За умовою задачі .

Із

Лекція 19 Числові ряди. Знакопостійні ряди. Необхідна та достатні ознаки

збіжності ряду