Исследование функций и построение их графиков

Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.

Возрастание и убывание функцииФункция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, то есть при  выполняется неравенство  (  ).

Возрастание и убывание функции y = f(x) характеризуется знаком ее производной : если в некотором интервале  0, то функция возрастает, а если  0, то функция убывает в этом интервале. В интервале возрастания (убывания) функции могут быть отдельные точки, в которых

Экстремум функции

Если существует такая двухсторонняя окрестность точки , что для всякой точки этой окрестности имеет место неравенство f(x) > f(x₀), то точка x₀ называется точкой минимума функции y = f(x). Аналогично, если для всякой точки некоторой окрестности точки x₁ выполняется неравенство f(x) < f(x₁), то x₁ называется точкой максимума функции y = f(x). Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума. Точками экстремума могут служить только точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная равняется нулю или терпит разрыв (критические точки), то есть точками экстремума являются все точки, где функция меняет свое поведение, а ее производная меняет знак.

Чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:

• найти критические точки функции;

• определить знак первой производной слева и справа от каждой критической точки;

• из полученных точек выделить те, в которых функция f(x) определенна и по разные стороны от каждой из которых производная имеет разные знаки - это и есть точки экстремума данной функции.

Для определения вида экстремума следует помнить, что если в точке меняет знак с плюса на минус, то x₀ является точкой максимума, если с минуса на плюс - x₀ является точкой минимума, если же в этой точке знак производной не меняется, то она не является точкой экстремума.

Иногда проще исследовать критические точки, в которых производная функции обращается в ноль, по знаку второй производной в точке x₀:

• если > 0 , то x₀ есть точка минимума;

• если < 0 , то x₀ есть точка максимума;

• если = 0 , то вопрос о наличии в точке x₀ остается открытым, необходимо провести дополнительные исследования.

Наименьшее и наибольшее значение функции

Для отыскания наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо вычислить значения функции на концах промежутка и во всех ее критических точках, принадлежащих этому промежутку (такими точками в данном случае являются точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или не существует).

Наименьшее и наибольшее из полученных значений являются соответственно наименьшим и наибольшим значением функции в рассматриваемом промежутке.

Пример: Найти наименьшее и наибольшее значения функции

y = 2 sinx + sin2x на отрезке .

Найдем критические точки: при

• , корни этого уравнения ,

• корни этого уравнения .

Из них внутри заданного отрезка лежат критические точки . Производная функции существует всюду, поэтому других критических точек функция не имеет. Значения функции в найденных критических точках . Вычислим значения функции на концах заданного отрезка

Сравнение вычисленных значений функции во внутренних критических точках и на концах отрезка показывает, что

• наибольшее значение y_наиб =

• наименьшее значение y_наим =

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Если в некотором интервале кривая расположена ниже любой своей касательной, то она называется выпуклой вверх (выпукла), а если она расположена выше любой своей касательной, то называется выпуклой вниз (вогнутой)в этом интервале. Точкой перегиба называется точка на кривой, где меняется направление ее выпуклости.

Направление выпуклости кривой y = f(x) характеризуется знаком второй производной :

• если в некотором интервале > 0, то кривая выпукла вниз;

• если < 0 , то кривая выпукла вверх в этом интервале.

Абсциссы точек перегиба кривой y = f(x), или графика функции f(x), являются точками, в которых меняется поведение производной . Поэтому их можно найти таким образом:

• найти и точки x, в которых или не существует, а кривая непрерывна;

• определить знак слева и справа от каждой из полученных точек.

Исследуемая точка будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от нее имеет разные знаки.

Интервалы, где кривая выпукла вверх и где она выпукла вниз, определяются из условия, что их границами могут быть только абсциссы точек перегиба, точки разрыва и граничные точки области расположения кривой.

Пример: Найти промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции

Область определения данной функции - вся числовая ось. Дифференцируя функцию дважды, получаем

Вторая производная существует всюду и обращается в нуль при x = 2 и x = 3. Этими точками область определения разбивается на три промежутка, внутри которых вторая производная сохраняет знак: , [2;3] ( <0). Таким образом, в промежутках (-, 2] и [3, + ) кривая вогнута, а в промежутке[2,3] - выпукла. Граничные точки x =2 и x = 3 указанных промежутков являются абсциссами точек перегиба. Вычислим значения функции f(x) в этих точках: f(2) = -19; f(3) = 5. Итак, данная функция имеет две точки перегиба: (2;-19) и (3;5).

Асимптоты

Если точка (x,y) непрерывно перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к бесконечности. И если расстояние точки от некоторой прямой стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Вертикальные асимптоты. Если существует число а такое, что то прямая x = a является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты. Если существует конечный предел функции при или , то есть если или , то прямая y = b или y = c является горизонтальной асимптотой.

Наклонные асимптоты. Если существуют пределы , то прямая y = k₁ x + b₁ служит наклонной ( правой ) асимптотой. Аналогично, если существуют пределы , то прямая y = k₂ x + b₂ является наклонной (левой) асимптотой.

Заметим, что горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при k = 0.

Общая схема исследования функций и построения их графиков

При построении графиков функций следует пользоваться следующей схемой.

• Найти область определения функции.

• Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

• Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

• Найти асимптоты графика функции.

• Найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания функции.

• Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

• Построить график функции, используя полученные результаты исследования.