32

Переменные величины. Функции. Пределы.

Переменной называется величина, принимающая различные числовые значения. Областью изменения переменной называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Она может состоять из одного или нескольких интервалов и из отдельных точек .

Взаимосвязанное изменение переменных называется функциональной зависимостью. Если каждому элементу x  D по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y , то говорят , что задана функция y = f(x) , где x называется независимой переменной или аргументом. Множество D называется областью определения функции, а множество значений , принимаемых функцией y, называется областью ее значений.

Множество точек (x,y) плоскости xOy, координаты которых связаны уравнением y = f(x,y), называется графиком данной функции.

Переменная величина определяется не только множеством тех числовых значений , которые она принимает , но и тем порядком , в котором они следуют друг за другом. В этом случае переменная рассматривается как упорядоченное числовое множество. Если каждому натуральному числу n по некоторому закону ставится в соответствие число x_n , то такое числовое множество называется числовой последовательностью: x₁ , x₂ , x₃ , . . . x_{n .}

Закон образования последовательности дается формулой его общего члена x_n.:

x_n = f (n).

Предел последовательности

Число А называется пределом последовательности x_n , если для всякого  существует такое N = N() , что при всех nN() выполняется неравенство  x_n  А   .

В этом случае пишут: x _n = А.

Пример: Исходя из определения предела , доказать , что последовательность

x _n = имеет предел x_n = 1/2.

Пусть  - произвольное положительное число. Требуется доказать: существует такое число n = N() , что при всех значениях n  N() выполняется неравенство  x_{n -}    .

Найдем абсолютную величину разности

^{= = .}

Таким образом, неравенство x_n - 1/2  выполняется, если   , откуда n [1/ (4)-1/2)]. Поэтому в качестве N() можно взять целую часть числа [1/(4)-1/2]. Итак, для любого  найдено такое N() , что из неравенства n  N следует неравенствоx_n-1/2 . То есть, мы доказали, что = ^.

Предел функции

Число А называется пределом функции y = f( x ) при x, стремящемся к x₀ , если для любого   0 существует число   0 такое, что при x - x₀    выполняется неравенство f(x) - А   .

Обозначение: f(x) = А.

Односторонние пределы

Если число A₁ есть предел функции y = f(x) при x, стремящемся к x₀ слева ( x  x ₀ ) , то число A₁ называется пределом слева функции f(x) в точке x₀

f(x) = A_1.

Аналогично определяется предел справа функции f(x) в точке x₀ ( для x x₀):

f(x) = A_2.

Пределы справа и слева называются односторонними пределами. Для существования предела функции f(x) в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в данной точке существовали и были равны: A₁ = A₂ = A .

Вычисление пределов

Если функция является элементарной и если значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента.

Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

Основные теоремы, на которых основано вычисление пределов.

1. Если существуют пределы f₁(x) и f₂(x) , то

а) [f₁(x) + f₂(x) ] = f₁(x) + f₂(x) ;

б) [f₁(x) * f₂(x) ] = f₁(x) · · f₂(x) ;

в) при условии f₂(x)  0.

2. Если существует (x) , а f(x) - элементарная функция, то

f [(x) ] = f [ (x) ].

3. Первый замечательный предел: = 1.

4. Второй замечательный предел: .

Более сложные случаи нахождения предела функции, если имеют место неопределенности вида : { 0/0 } ; {  } ; { 0·  } ; {   } ; { 1 ^ }, требуют проведения специальных алгебраических преобразований , позволяющих избавиться от неопределенности.

Пример 1.Найти предел функции .

Раскладываем числитель и знаменатель на множители

= = .

Тогда .

Пример 2. Найти предел функции .

Выяснив вначале, что при указанном изменении аргумента данная функция представляет отношение двух бесконечно малых величин {0/0}, преобразуем дробь так, чтобы сократить ее на множитель , стремящийся к нулю.

Уничтожаем иррациональность в числителе путем умножения числителя и знаменателя на , затем сокращаем дробь на x:

Пример 3.Найти предел функции .

Устанавливаем, что данная функция не определена в предельной точке, при заданном изменении аргумента она представляет отношение {0/0}. Подвергнем функцию преобразованиям, чтобы использовать первый замечательный предел.

Полагая , получим , когда .

Пример 4. Найти предел функции .

Убедившись, что имеет место случай {}, подвергнем функцию преобразованиям. Деля числитель и знаменатель дроби на x² (наивысшая степень x) , находим предел

, так как при величины и являются бесконечно малыми.

Пример 4. Найти предел функции .

При указанном изменении аргумента функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую {0∙}. Необходимо провести преобразования, чтобы свести к случаю {0/0} или {}.

= .

Пример 5. Найти предел функции .

Анализируя условия задачи, определяем, что при указанном поведении аргумента функция представляет разность бесконечно больших величин {}. Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности:

Пример 6. Найти предел функции .

В этом случае имеем неопределенность {1^}. Для нахождения предела используем второй замечательный предел. Исключив целую часть из дроби, полагаем

, тогда