Непрерывность и точки разрыва функции

Если и - значения аргумента x , а и - соответствующие значения функции y = f(x) , то величина называется приращением аргумента на отрезке[x_1,x₂], а величина - приращением функции на этом отрезке.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке, который равен значению функции в этой точке , другими словами функция y=f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение аргумента.

Для непрерывности функции y=f(x) в точке необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем эту точку;

2. функция должна иметь одинаковые односторонние пределы в этой точке

3. эти односторонние пределы должны быть равны значению функции в этой точке.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она называется непрерывной в этой области.

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке функция не удовлетворяет условию непрерывности. Точки разрыва функции делятся на два типа. К точкам разрыва первого рода относятся такие точки , в которых существуют конечные односторонние пределы, но они не равны между собой (точки скачка функции). К точкам разрыва второго рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Дифференцирование функций

Производная функции. Производной функции y = f(x) называется предел отношения ее приращения к соответствующему приращению независимой переменной, когда :

.

Производная обозначается: Нахождение производной называется дифференцированием. Геометрически производная функции y = f(x) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции.

Основные правила дифференцирования. Если с - постоянная и - функции, имеющие производные то:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Дифференцирование сложной функции. Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция, причем

или

Это правило распространяется на цепочку из любого числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Пример: Найти производную функции

Полагая находим .

Логарифмическое дифференцирование

Дифференцирование многих функций значительно упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Если требуется продифференцировать функцию y = f(x) , то можно прологарифмировать обе части равенства по основанию

Продифференцировав обе части полученного равенства, получаем

Из последнего равенства получаем

Пример. Найти производную функции .

Применяя логарифмическое дифференцирование, последовательно находим

Производная неявной функции ­

Если зависимость между x и y задана в неявной форме , то для нахождения производной в простейших случаях достаточно продифференцировать данное равенство, считая e функцией от x , и из полученного уравнения выразить .

Пример. Найти производную , если

Дифференцируя данное равенство, получаем .

Отсюда

.

Производные функций, заданных параметрически

Если зависимость функции y и аргумента x задана посредством параметра t: , , то или в других обозначениях

Пример: Найти , если , .

Находим и . Отсюда

Производные высших порядков

Если есть производная от функции y = f(x) , то производная от называется второй производной, или производной второго порядка от первоначальной функции , и обозначается , или , или . Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка:

• производная третьего порядка

• производная порядка n

Для нахождения производной какого-либо высшего порядка от данной функции приходится последовательно находить все ее производные низших порядков.

Если функция задана параметрически , то производная второго порядка определяется формулами

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя

Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а ( за исключением, быть может, ее самой), причем Тогда если или то при условии, что предел правой части данного равенства существует (правило Лопиталя). Это правило применимо и в том случае, когда .

Пример: Найти предел функции применив правило Лопиталя.

Здесь имеет место неопределенность . По правилу Лопиталя находим

.

Последний предел дает неопределенность вида . Снова применяя правило Лопиталя, получаем

Если функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую или разность двух положительных бесконечно больших величин , нахождение предела сводится к случаю или путем преобразования функции к виду дроби.

Пример: Найти предел .

Преобразуем функцию и применим правило Лопиталя

.

Если функция представляет степень, основание которой стремится к единице а показатель к бесконечности , или степень, основание которой стремится к бесконечности, а показатель - к нулю , или степень, основание и показатель которой стремятся к нулю . Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаю , а затем к случаю или таким образом: функция логарифмируется и сначала находится предел ее логарифма, а затем по найденному пределу логарифма находится и предел самой функции.

Пример: Найти предел .

Логарифмируем функцию и ищем предел ее логарифма

Здесь нахождение предела свелось к случаю Применяя правило Лопиталя, получаем

Теперь по найденному пределу логарифма функции находим искомый предел самой функции:

.