2.3. Задачи

Задача1. (которая является классической задачей геометрии, входит в ее золотой фонд) Дана прямая l и точки А и В по одну сторону от нее. Найдем на прямой точку М, чтобы путь из А в В через М был кратчайшим, т.е. длина ломанной АМВ была бы наименьшей.

Решение: Построим точку А1,симметричную точке А относительно прямой l. Проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой.

Задача 2. Ученик нарисовал на доске окружность, отметил на ней точки А,В,С и стер ее, оставив лишь эти точки. Как восстановить окружность?

Решение:

Точки В и С симметричны относительно диаметра, проходящего через середину отрезка ВС и перпендикулярны ему. Аналогично и точки А и В. Таким образом, построив, перпендикулярные прямые через середины к отрезкам АВ и ВС, мы получим точку их пересечения, Это центр окружности, так как через не проходит оба диаметра.

Задача 3. На плоскости дан острый угол и точка внутри него. Найти на сторонах угла две точки М и N так, чтобы длина замкнутого пути АМNА (АМ +MN + NА) была наименьшей.Решение:

Надо построить точки А1 иА2, симметричные точке А относительно сторон угла.. Прямая А1А21 пересечет стороны угла в искомых точках М иN.

Задача 4. На рисунке изображена сеть правильных треугольников. Не выполняя никаких построений, укажите:

а) точки, симметричные точкам В4,В5, D3 относительно прямой А4D2.

б) образ отрезка В2С2 в результате последовательного отражения его от осей В3D2 и В1В5.

в) ось симметрии отрезков А3В4 и В4В5.

Ответ: а) В4,А3,С2. б) В4А3. в) А4D2.

Задача 5. Выберите из данного множества точек: (1;5), (3;-2), (-1;5), (0;-7), (5;-1), (0;7), (-2;3), (4;0), (0;4), (2;1), (1,-10) точки попарно симметричные относительно оси Ох, оси Оу, биссектрисы I и III координатных углов.

Задача6.  Даны точки А и В, не лежащие на прямой l. Построить на прямой l точку С так, чтобы длина ломаной АСВ была наименьшей.

Решение.

Проведем через точку А прямую, перпендикулярную прямой l. Отложим отрезок OD, равный отрезку АО. Соединим точку D с точкой В. BD пересечет прямую l в точке С. Точка С – искомая.

Задача7. Точки А и А'симметричны относительно прямой l. Постройте точку В', симметричную точке В относительно той же прямой, пользуясь только: а) угольником; б) линейкой без делений.

Задача 8. Дорисуйте картинки. Рассмотрите симметрию относительно прямой: а) х = 4; б) у = –х. В какие точки перейдут в каждом случае точки А (0; 6), В (4; –4), С (–3; –2)?

Дорисуйте картинки. Рассмотрите симметрию относительно точки: а) (0; —1); б) (1; 1). В какие прямые перейдут в каждом случае прямые: х = 0, у = х + 2, у = 2,5х?

При параллельном переносе фигура F перешла в фигуру F1. Определите координаты и длину вектора переноса. Постройте образ фигуры F при параллельном переносе на вектор а (–5; 3).

При повороте фигура F перешла в фигуру F1. Определите координаты центра, величину угла и направление поворота. Постройте фигуру F2 – образ F1 – при повороте с центром в точке М (–1; 2) на угол 90° по часовой стрелке. Какое движение переводит фигуру F в фигуру F2?

Задача 8. Как проложить дорогу: а) параллельную; б) перпендикулярную дороге АВ и удалённую от пункта С на такое же расстояние, что и дорога АВ?

Задача 9. Для снабжения двух населенных пунктов А и В , которые расположены на одном берегу реки , требуется построить водонапорную башню. Где нужно ее построить , чтобы общая длина труб от башни до обоих пунктов была наименьшей и чтобы башня располагалась на том же берегу, что и поселения.

Решение задачи.Построим точку В1, симметричную точке В относительно прямой l. В1А пересекает l в точке С, которая является искомой точкой.

Действительно, любая точка прямой l (кроме С0 не удовлетворяет требованию данной задачи. Например, рассмотрим точку С1, принадлежащую l , тогда АС1 + ВС1 = АС1 + С1В1 › АС + СВ1 = АС + ВС.

Решение показано на рисунке.

Эта задача решается с помощью геометрического преобразования фигур – осевой симметрии.

Задания по математике занимательного характера

1. Какая из данных фигур лишняя и почему?

2. Вместо знака вопроса вставьте в каждый сектор недостающую фигуру, выбрав её из предложенных.

2. Какая из изображённых на рисунке фигур самая симметричная, а какая – самая несимметричная?

4.Задача про шоколадку. Двое по очереди ломают шоколадку 5x8. За ход можно разломать любой кусок по прямой линии между дольками. Проигрывает тот, кто не может сделать ход

Решение: Что значит, что игра закончилась? Конечно, что шоколадка уже вся разломана на отдельные дольки. Долек всегда будет 5x8=40 штук, а шоколадка в начале была одна. Заметим, что на каждом ходу один кусок шоколадки всегда разламывается на 2, т.е. количество различных кусков шоколадки увеличивается на 1. В начале это кол-во было равно 1, а в конце, как мы заметили, 40. Значит, игра продолжалась ровно 39 ходов ("ходом" мы называем ход одного игрока, а не пару "ход - ответный ход"). Поэтому последний (39-й) ход был обязательно ходом первого (его ходы - первый, третий и все с нечетными номерами) - и первый выиграл.

Задача 5. На доске написаны 10 нулей и 10 единиц. За ход можно стереть две любые цифры и написать вместо них 0, если они были одинаковые или 1, если они были разные. Если на доске остается 1 - выигрывает первый. Если 0 - второй.

Решение: Ну, поскольку число цифр с каждым ходом уменьшается ровно на 1 (2 стираем, одну пишем), а исходно их 20 и в конце должна остаться одна, то игра будет продолжаться ровно 19 ходов. Последним ходом будет ход первого... только в этой задаче (в отличие от предыдущей!) не факт, что первый тогда выиграет.

Выигрыш зависит от четности последнего числа, так давайте на нее и посмотрим... Такой стандартный инвариант, как четность суммы всех чисел, не меняется при ходах. Действительно, сумма двух одинаковых цифр - четна и, вычитая ее, мы прибавляем четный ноль. А сумма двух разных цифр - нечетна (0+1=1), и мы прибавляем вместо нее нечетную единицу. Исходно сумма всех чисел четна, т.к. среди них четное число нечетных - единиц - (см. лекцию 1 "Четность"), поэтому и в конце будет четна. А это значит, что последнее число, оставшееся в конце игры, будет четным, т.е. оно будет нулем - и выигрывает второй.

Задача6 Двое по очереди кладут одинаковые монеты на круглый стол, причём монеты не должны накрывать друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Иначе говоря, у какого из игроков есть выигрышная стратегия?)

тот, кто начинает, --- первый игрок. Вот его стратегия. Первым ходом он кладёт монету в центр стола. Затем после каждого хода второго первый кладёт монету симметрично монете, только что положенной вторым, относительно центра стола. Очевидно, если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, первый игрок побеждает.

Задача7. На плоскости дана прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. Нужно найти на прямой такую точку C, чтобы сумма длин отрезков AC и BC была минимальна.

Решение. Построим точку A', симметричную A относительно прямой l. Заметим, что для любой точки C, лежащей на прямой l, AC=A'C. Поэтому 

AC+BC=A'C+BC.

В силу неравенства треугольника сумма A'C+BC минимальна тогда и только тогда, когда точка C лежит на отрезке A'B. Итак, C=A'B  l.

Задача8.. На плоскости дан правильный n-угольник A₁A₂... A_n, точка O --- его центр (рис. 3). Найти вектор  .

Решение. Введём обозначения:  =  A₁OA₂,   --- поворот на угол   с центром в точке O (т. е.   есть вектор, полученный из вектора   указанным поворотом). Тогда, поскольку многоугольникA₁A₂... A_n правильный, 

Как известно, сложение векторов и поворот перестановочны: если сумму нескольких векторов повернуть на угол   и, наоборот, каждый из векторов-слагаемых повернуть на тот же угол, а затем сложить, результат будет один и тот же. Кроме того, сумма векторов не зависит от их порядка. Поэтому 

Итак, вектор   не меняется при повторении.

Выводы

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Существует множество видов симметрии, как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.

Симметрия в математике имеет большое значение. Выбранная тема актуальна, так как в средней школе не рассматриваются все виды симметрий

Итак, "сфера влияния" симметрии (а значит, ее антипода- асимметрии), поистине безгранична. Природа - наука - искусство. Всюду мы видим противоборство, а часто и единство двух великих начал - симметрии и асимметрии, которые во многом и определяют гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства.

Изучив и исследовав тему «Симметрии» я узнала, что помимо осевой, зеркальной и центральной видов симметрии, которые мы изучаем в школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например в природе – поворотная, винтовая, в кристаллографии вообще - 32 вида.

Таким образом, изучая симметрию законов природы, рано или поздно удается глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции и дать возможность человеку чаще применять данные законы симметрии в жизни. Симметрия, проявляясь в самых различных объектах природного мира, несомненно, отражает наиболее общие ее свойства. Поэтому изучение симметрии разнообразных природных объектах и сопоставление его (изучения) результатов удобным и надежным инструментом познания гармонии мира.

Несомненно одно: Мир симметричен! И поэтому прекрасен!

Литература

1. Гильде В. Зеркальный мир. — М.: Мир, 1982г.

2. Рохлов В.С., Демидова М.Ю. Симметрия вокруг нас. – Естествознание в школе, 2004, № 4.

3. Современный словарь иностранных слов. — М.: Русский язык, 1993г.

4. Советский энциклопедический словарь — М.: Советская энциклопедия, 1980г.

5. Тарасов Л.В. Симметрия в окружающем нас мире. – М.: Оникс–21 век. – Мир и образование, 2005.

6. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии — М.: Мысль, 1974г.

7. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. – Л.: Недра, 1985.

8. http://www.rusnauka.com/31_PRNT_2010/Matemathics/73458.doc.htm

9. http://ru.wikipedia.org

10. http://cameralabs.org/2265-osnovi-fotografii-simmetriya-printeri-ekspozitsiya-i-tsifrovie-datchiki

28