Раздел 2. Симметрия в задачах

2.1. Симметрия в физике

Физическая симметрия – однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства. Благодаря последней симметрии все физические приборы (в том числе и будильник) одинаково работают в разных точках пространства.

Помните ли вы волшебные картинки в калейдоскопе, которые менялись от малейшего поворота? Они получены путём отражения в нескольких зеркалах мелких кусочков разноцветного стекла. Калейдоскоп позволит нам прикоснуться к удивительному математическому явлению – СИММЕТРИИ.

1.Сделаем свой калейдоскоп из двух плоских зеркал, поставленных на плоскость под углом 120° друг к другу.

На плоскости между зеркалами поставим какой-нибудь предмет, в нашем случае это небольшой красный шарик. Мы видим, что он отражается в зеркалах 2 раза.

2.Уменьшим угол между зеркалами до 90°. Теперь шарик отражается 4 раза.

3Уменьшим до 45° и наблюдаем, что отражений уже 8.

4Теперь изменим угол между зеркалами до 30°. На этот раз отражений 18.

Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», что и означает в переводе с греческого слова «симметрия», стечением времени приобрело универсальный характер и было осознано как всеобщая идея инвариантности (т.е. неизменности) относительно некоторых преобразований.

Таким образом, геометрический объект или физическое явление считается симметричным, если с ним можно сделать что-то такое, после чего они остаются неизменными. Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72°, займет первоначальное положение, а ваш будильник одинаково звучит в любом углу комнаты, так как звук передается с помощью звуковых волн, обладающих симметрией.

Таким образом, не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества, магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех них принципом симметрии

Атомы твердых тел расположены очень плотно и симметрично.

2.2.Симметрия в математике

Слово «симметрия» в переводе с греческого означает «одинаковость в расположении плоскостей». В таком широком понимании симметрия не имеет математического содержания. Математики вкладывают в это понятие точный математический смысл, рассматривают некоторые специальные виды симметрии. В результате симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать трудные задачи.

Основные свойства симметрии.

Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно прямой

Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам

Если отрезок MN симметричен отрезку относительно прямой l, то их длины равны.

Из свойств симметрии следует важное свойство плоскости.

- Если А – некоторая точка плоскости,а В точка на прямой, то длина отрезка АВ будет наименьшей, если отрезок АВ перпендикулярен

Симметрия в геометрии . Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются симметричными относительно этой плоскости (или прямой). Фигура симметрична относительно прямой или плоскости , если ее точки попарно обладают указанным свойством. Фигура симметрична относительно точки , если ее точки попарно лежат на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных расстояниях от нег. Под симметрией принято понимать свойство геометрической фигуры, расположенной в пространстве или на плоскости, заключающееся в закономерном повторении равных ее частей. Изучение видов симметрии имеет большое практическое и теоретическое значение для различных областей науки и техники и, особенно, при изучении строения кристаллических веществ.  Существует множество различных видов симметрии.

К простейшим из них относятся: а) симметрия относительно плоскости (зеркальная, симметрия);б) симметрия относительно точки (центральная симметрия);в) симметрия относительно прямой (осевая симметрия);г) симметрия вращения. Симметрия относительно плоскости - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону плоскости, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону плоскости, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны плоскости симметрии и делятся ею пополам. Следует отметить, что две симметричные фигуры или две симметричные части одной фигуры при всем их сходстве, равенстве объемов и площадей поверхностей, в неравны, т.е. их нельзя совместить друг с другом. Это разные фигуры, их нельзя заменить друг другом, Предметы могут иметь одну, две, три и т.д. плоскостей симметрии. Например, прямая пирамида , основанием которой является равнобедренный треугольник, симметрична относительно одной плоскости Р. Призма с таким же основанием имеет две плоскости симметрии.

У правильной шестиугольной призмы их семь. Тела вращения: шар, тор, цилиндр, конус и т.д. имеют бесконечное количество плоскостей симметрии.  Центральная симметрия - любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам. Центральную симметрию имеют многие геометрические тела. К ним следует отнести все правильные многогранники (за исключением тетраэдра), все правильные призмы с четным числом боковых граней некоторые тела вращения (эллипсоид, цилиндр, гиперболоид, тор, шар). Центр симметрии многогранников указывает на наличие двух равных и взаимно параллельных граней.

Например, у параллелепипеда грань АА₁'В₁'В равна и параллельна грани В₁В₁А₁А₁. Рассмотрим симметричность вершин. Точке А симметричны две точки А₁. Одна - относительно центра симметрии многогранника, другая - относительно центра симметрии грани. В свою очередь, точкам А₁ симетрична точка А₁'. Таким образом, симметричность относительно точки характеризуется тем, что любая проходящая через центр симметрии прямая отмечает на фигуре пару точек, т.е. точек, расположенных от нее на равных расстояния. Симметрия относительно прямой - любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.   Симметрия вращения - это свойство геометрической фигуры, когда при повороте этой фигуры на угол =360°/n около некоторой оси вращения она совместится со своим первоначальным положением (n - целое число; - минимальный угол, на который нужно повернуть фигуру для ее совмещения). Ось, вокруг которой вращается фигура до ее совмещения, называют поворотной осью или осью вращения n -го порядка. В зависимости от величины n (равной 2,3,4,...,n) ось вращения называют второго (i²), третьего (i³), четвертого (i⁴),..., п-го (iⁿ) порядка.