4.Модель “хижак - жертва”

Розглянемо детальніше двохвидову модель “хижак – жертва”, яка вперше була побудована італійським математиком Діно Вольтерра для пояснення коливань рибних уловів в Адріатичному морі, що носили циклічний характер.

Задача 2. У замкненій водоймі існує два типи риб: великі риби-хижаки і менші риби-фітофаги, які служать джерелом корму для хижаків. Риби-фітофаги харчуються водорослями, кількість яких вважається необмеженою. Позначимо x₁ – кількість хижаків, x₂ – кількість жертв (риб-фітофагів). Необхідно дослідити динаміку зміни чисельності обох популяцій. Кількість риб – хижаків буде зростати доти, поки буде достатньо їжі. Коли ж кількість малих риб стане малою, кількість великих риб також почне падати. Це приведе до того, що з деякого часу кількість малих риб знову почне зростати. Цим пояснюється циклічний характер коливань кількості великих і малих риб. Модель побудована Вольтерра, має вигляд:

( 5 )

тут - деякі додатні коефіцієнти.

Доданок - виражає зменшення кількості хижаків внаслідок внутрівидової конкуренції;

- збільшення кількості хижаків пропорційно їх кількості і в залежності від числа жертв;

- розмноження жертв пропорційне їх кількості (кількість корму вважається необмеженою);

- зменшення кількості жертв в залежності від кількості хижаків і внаслідок внутрівидової конкуренції.

Система ( 5 ) допускає як аналітичний, так і чисельний розв’язок. При чисельному розв’язуванні задачі слід використовувати удосконалений метод Ейлера (точність звичайного методу Ейлера є недостатньою). Типовий графік залежності від часу, побудований за результатами розрахунків, має вигляд:

Розглянемо площину , координатами якої виступають основні параматри моделі і . Дана площина називається фазовою площиною. Графік залежності називається фазовою траєкторією системи. Якщо зобразити залежність на фазовій площині, то отримаємо замкнену фазову траєкторію – фазовий портрет моделі. Всі можливі фазові траєкторії даної системи, які відповідають різним початковим значенням параметрів і охоплюють точку, яка називається стаціонарною. Стаціонарна точка відповідає стану рівноваги системи. Стаціонарна точка процесу має наступні координати x_1c=C/D; x_2c=A/B. Якщо вибирати стартові значення чисельності популяцій якомога ближчими до координат стаціонарної точки, фазова траєкторія буде вироджуватися в точку, тобто чисельності популяцій не змінюватимуться. Таким чином ця точка – це є своєрідна точка динамічної рівноваги для системи “хижак - жертва”.

11. Прийняття рішень в умовах невизначеності

Схема матричної гри з природою.

Розглянемо взаємодію людини з природнім середовищем у вигляді моделі матричної гри з природою на наступному прикладі. Навколишнє середовище може перебувати в наступних станах: С₁ – дуже сухий рік, С₂ – сухий рік, С₃ – нормальний за вологістю рік, С₄ – вологий рік, С₅ – дуже вологий рік. Стратегії особи, яка приймає рішення (ОПР), полягають у виборі кількості води для поливу: S₁ – вода не використовується; S₂ – вода використовується на 50% максимальної кількості; S₃ – вода використовується на 100% максимальної кількості. Вибираючи одну із можливих стратегій, ОПР отримує в результаті деякий фінансовий виграш (програш) , величина якого залежить від стану навколишнього середовища. Ця матриця характеризує виграш гравця у разі, якщо він вибере рішення , а середовище перебуватиме у стані .

У залежності від ситуації, інформація про імовірності погодних станів може бути відомою, або ж невідомою. Необхідно надати рекомендації щодо вибору оптимальної стратегії.

Оптимальна стратегія гравця в умовах невизначеності обирається на основі зведення стохастичної задачі прийняття рішень до детермінованої задачі на оптимізацію. Відповідно до характеру невизначеності та наявної інформації про навколишнє середовище вибирають ті чи інші критерії прийняття рішень в умовах невизначеності. Слід зауважити, що на прийняття рішень впливає і відношення до ризику особи, яка приймає рішення (обережна стратегія, ризикована стратегія, зважена стратегія).

Перша інформаційна ситуація.