10. Метод Рунге-Кутта

Припустимо, що шукана функцiя Y(x) має похiднi 1-го, 2-го i вищих порядкiв. Запишемо її розклад в ряд Тейлора

(10)

Чим бiльше членiв розкладу (10) врахувати, тим точнiшим буде знайдений розв’язок. Замiнюючи похiднi рiзними наближеними формулами, отримують розрахункові формули Рунге-Кутта рiзного порядку точностi. Найбiльшу точнiсть має метод Рунге-Кутта четвертого порядку точностi. Робоча формула методу:

(11)

тут ; ;

; .

Розрахунки методом Рунге-Кутта (для задачі y’=2x+1; y(0)=1; h=0.1) зручно вести у виглядi наступної таблицi

n	xn	yn	f(x,y)	K0	K1	K2	K3	yi+1
0	0.00	1.00	1.00	0.10	0.11	0.11	0.12	1.11
1	0.10	1.11	1.20	0.12	0.13	0.13	0.14	1.24
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
10	1.00	3.00	3.00	0.30	0.31	0.31	0.32	3.31

11. Похибка чисельних розв’язкiв

Похибка розв’язку ДР, отриманого чисельними методами залежить як вiд обраного методу, так i вiд величини кроку h. Має місце наступна оцінка наближеного значення похибки рiзних методiв:

метод Ейлера ~ h²;

удосконалений метод Ейлера ~ h³;

метод Рунге- Кутта ~ h⁵.

Для бiльш точної оцiнки похибки обчислень використовують запропонований Рунге принцип подвiйного перерахунку. Його алгоритм має вигляд:

1. Шукають розв’язок на iнтервалi [a,b] з кроком h= . Позначимо знайденi числа yⁿ_o, yⁿ₁ , ... , yⁿ_i ,…, yⁿ_{n .}

2. Шукають розв’язок з кроком h’= . Позначимо знайденi розв’язки y²ⁿ_o, y²ⁿ₁,…, y²ⁿ_i ,…, y²ⁿ_2n .

3. У кожнiй з вузлових точок x_i (отриманих при розбитті інтервалу з кроком h) похибка розв’зку, знайденого з кроком h’ = 2h, дорiвнює

= (12)

де p - порядок точностi методу. Уточнене значення iнтегральної функцiї у вузлових точках x_i знаходиться за формулою

y^t_i = y ²ⁿ_i+ . (13)

МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ПОПУЛЯЦІЙ

3. Динаміка розвитку ізольованої популяції

Одним з найважливіших питань екології є проблема дослідження взаємодії двох, чи більше видів всередині певної біосистеми. Вирішенння цього питання дозволяє правильно планувати експлуатацію відновлюваних природніх ресурсів – промислових риб, мисливських угідь і т.д. Розглянемо найпростіші моделі, які ілюструють підхід до розв»язання цієї проблеми.

Задача № 1. (невзаємодіюча ізольована популяція).

Нехай деяка популяція (сукупність організмів одного виду) в момент часу має біомасу (кількість осіб ). Як відомо, швидкість приросту біомаси пропорційна до наявної біомаси. Якщо для розмноження популяції створені сприятливі умови і відсутні лімітуючі фактори, кількість популяції описується рівнянням Мальтуса (1802)

( 1 )

Тут r – коефіцієнт швидкості розмноження

( 2 )

(a – народжуваність, b – смертність). Розв’язком рівняння Мальтуса є експонента

. ( 3 )

Експоненціальний закон розвитку добре описує розмноження колоній деяких бактерій при достатній кількості їжі. Проте такі сприятливі умови не можуть існувати довго через вплив навколишнього середовища. Із зростанням чисельності виду зростає внутрівидова конкуренція особин (явище самоотруєння популяції). Це приводить до зменшення швидкості зростання популяції пропорційно квадрату наявної біомаси. Рівняння, що описує процес зміни біомаси з часом набирає вигляду:

( 4 )

Розв’язком рівняння ( 4 ) є логістична функція, графік якої має вигляд:

Логістичне рівняння вперше запропонував Ферхюльст (1838). Його властивості:

1. При малій чисельності популяції зростання відбувається за експоненціальним законом.

2. З часом чисельність популяції асимптотично наближається до деякого постійного числа x_max – ємності середовища.