4. Постановка задачi Кошi

Сформулюємо задачу Кошi. Нехай задано ДР

(2)

і початкова умова

. (3)

Необхiдно знайти розв’язок ДР (2), який задовiльняє умову (3). Геометрично це означає, що треба знайти ту iнтегральну криву y(x), яка проходить через точку (Xo,Yo).

Нехай потрiбно знайти чисельний розв’язок задачi Кошi на вiдрiзку [a,b]. Подiлимо вiдрiзок [a,b] на n рiвних частин точками

a = x_o, x₁, x₂ ,..., x_n = b.

Кооординату кожної з точок можна записати формулою

x_i=x_o+ih, h= . (4)

Тут h - крок чисельного iнтегрування. Розв’язати задачу Кошi чисельно означає знайти числову послiдовнiсть y_o, y₁, y₂ , ..., y_n, яка i буде наближеним розв’язком. Якщо наближений розв’язок в точцi x_k вiдомий, то проiнтегрувавши рiвняння (2) в межах вiд x_k до x_k+1, знайдемо його розв’язок в точцi x_k+1 за формулою

. (5)

Саме ця формула є основою багатьох способiв розв’язування задачi Кошi.

8. Метод Ейлера

Обчислимо iнтеграл у правiй частинi (5) за формулою лiвих прямокутникiв

(6)

Отримали розрахункову формулу Ейлера. Її похибка = y_k-y(x_k) ~ h². Тут y_k - наближене значення функцiї, y(x_k)-точне значення. Рiвняння дотичної до графiка функцiї y(x) в точцi x_k має вигляд

(7)

Врахуємо, що згiдно(2) y’_k=f(x_k,y_k). Отже формула (6) є рiвнянням дотичної, а це означає, що iнтегральна крива замiнюється вiдрiзком дотичної до неї в точцi (x_k,y_k). Сукупнiсть цих вiдрiзкiв утворює ламану Ейлера (верхня лінія на Рис.1).

Рис.1. Наближене розв’язування звичайного дифрівняння методом Ейлера. Нижня лінія відповідає точному розв’язку, верхня – розв’язку за методом Ейлера.

Приклад. y’=2x+1. y(0)=1; h=0.1.

Точнiсть методу досить мала (перший порядок точностi) i з переходом вiд x₀ до x_n похибка систематично зростає. Розрахунки зручно вести у формi наступної таблицi.

n	xn	yn	f(xn,yn)	yn+1
0	0.00	1.00	1.00	1.10
1	0.10	1.10	1.20	1.22
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
10	1.00	2.90	3.00	3.20

9. Удосконалений метод Ейлера

Якщо iнтеграл у правiй частинi формули (5) обчислити за формулою середнiх прямокутникiв, тобто значення функцiї f(x,y) обчислювати в точцi , то знайдемо

. (8)

Обчислимо значення y(x_k+1/2) за формулою Ейлера (6)

.

Отримаємо

(9)

Формула (9) виражає удосконалений метод Ейлера. Метод має другий порядок точностi.

Геометрична iлюстрацiя цього методу така: графік iнтегральної кривої замiнюється вiдрiзком прямої, що проходить через точку (x_k,y_k), але має кутовий коефiцiєнт

y’_k+1/2 = f(x_k+1/2, y_k+1/2). Розрахунки удосконаленим методом Ейлера зручно вести у формi наступної таблицi (ми як і раніше розглядаємо задачу y’=2x+1; y(0)=1; h=0.1).

n	xn	yn	f(xn,yn)	f(xn+h/2,yn+h/2*f(xn,yn))	yn+1
0	0.00	1.00	1.00	1.10	1.11
1	0.10	1.11	1.20	1.30	1.24
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
10	1.00	3.00	3.00	3.10	3.31