3. Випадкова величина та її числові характеристики.

На практиці часто доводиться мати справу з величинами, які набувають певних, заздалегідь не передбачуваних, значень. Такі величини називають випадковими (кількість опадів, оцінка студента). Якщо випадкова величина (ВВ) має скінченну кількість можливих значень x₁, x₂, … , x_m то її називають дискретною ВВ (оцінка). В іншому разі маємо неперервну ВВ (швидкість руху).

Сукупність усіх можливих значень дискретної випадкової величини називається генеральною сукупністю. Генеральну сукупність обробляти важко, або ж неможливо, в силу її великого обсягу. Тому на практиці генеральну вибірку заміняють меншим обсягом випадково вибраних з неї даних. Результати обмеженого ряду спостережень x₁, x₂, … , x_n випадкової величини називається вибіркою з генеральної сукупності. Вибірка повинна об’єктивно представляти генеральну сукупність, тобто бути репрезентативною. Для цього: а) вона повинна бути випадковою; б) вона повинна представляти всі частини генеральної сукупності.

Найважливішою характеристикою ВВ є закон розподілу, який встановлює відповідність між кожним можливим значенням дискретної ВВ x₁, x₂, … , x_m та частотою її появи p₁, p₂, … , p_m. Графічно емпіричний закон розподілу представляєься у вигляді гістограми частот.

Для кількісної характеристики закону розподілу неперервної ВВ вводять поняття функції розподілу як ймовірності того, що випадкова величина набуває значень, менших від деякого числа

(1)

Іншою характеристикою випадкової величини є щільність розподілу ймовірності її появи

(2)

Найбільш поширеним законом розподілу неперервних ВВ є нормальний закон розподілу. Графічним зображенням його щільності розподілу є симетрична дзвоноподібна крива (крива Ґаусса) (рис.1). У багатьох практичних випадках немає необхідності характеризувати випадкову величину повністю. Достатньо лише казати найбільш важливі числові параметри, які описують випадкову величину та її закон розподілу.

Основними числовими характеристиками нормального закону розподілу є математичне сподівання , дисперсія та середнє квадратичне відхилення . Математичне сподівання відповідає значенню ВВ, яке спостерігається найчастіше. На практиці його замінюють середнім статистичним значенням вибірки . Середнє квадратичне відхилення характеризує міру розсіювання ВВ навколо середнього значення. Для нормального розподілу справедливе правило “3-х сігм”: в інтервал попадає 99.7% всіх значень ВВ. 95.4% випадкової величини x зосереджено в інтервалі . 68.3% випадкової величини x зосереджено в інтервалі .

Рис.1. Щільність нормального закону розподілу ВВ

Основні числові характеристики вибірки розраховують наступним чином:

Середнє вибіркове значення величини x визначаємо за формулою

. (3)

Дисперсія характеризує розсіяння ВВ навколо середнього значення

. (4)

При малих об’ємах вибірки (до тридцяти значень x) використовують виправлену дисперсію

Середнє квадратичне відхилення є більш зручною характеристикою розсіяння ВВ, оскільки його розмірність співпадає з розмірністю ВВ

. (5)