Критерий устойчивости Михайлова

Характеристический полиномом САУ D(p) = 1+W(p) = a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +  + a₀

Подставим p = j получим характеристический комплекс D(j) = X() + jY() = D()e^j()

Вещественная часть D(j) X() = a₀ – a₂² + 

Мнимая часть D(j) Y() = a₁ – a₃³ + 

Функции D() и () представляют собой, соответственно, модуль |D(j)| и фазу (аргумент) arg (D(j)) характеристического комплекса.

Критерий Михайлова: характеристический полином не будет иметь корней в правой полуплоскости (система будет устойчивой) если полное приращение фазы () при изменении  от 0 до  равно n где n – степень полинома D(p).

Если полное приращение аргумента () не равно n , то система неустойчива.

Устойчивые САУ Неустойчивые САУ САУ на границе устойчивости

Использование критерия Михайлова для определения коэффициента усиления разомкнутой системы

У устойчивой системы кривая Михайлова проходит n-квадрантов, корни уравнений системы должны чередоваться

Кривая Михайлова всегда начинается с точки, расположенной на вещественной оси, где мнимая часть обращается в ноль

Y(₁) = Y(0) = 0

При постепенном увеличении частоты должна сначала обратиться в поле вещественная часть Х(₂) = 0, затем мнимая Y(₃) = 0, затем опять вещественная Х(₄) = 0 и т.д. , причём 0 = ₁ < ₂ < ₃ <  <_n.

Пример

САУ имеет передаточную функцию W(p) = k / p[(T₁p+1) (T₂p+1)]

Характеристический полином D(p) = T₁T₂p³+(T₁+T₂)p²+p+k

Характеристический комплекс D(j) = T₁T₂ j³+(T₁+T₂) j²+ j+k

Реальная и мнимая части Re(D(j)) = X() = k - (T₁+T₂) ² Im(D(j)) = Y() =  - T₁T₂ ³

Корень ₀ находится из Y() =  - T₁T₂ ³ = 0  ₀ = 0

Корень ₁ находится из X() = k - (T₁+T₂) ² = 0  ₁ =  k >0

Корень ₂ находится из Y() = 1 - T₁T₂ ² = 0  ₂ =

Так как обязательно ₁ < ₂ , то окончательно имеем .

Критерий устойчивости Найквиста

Характеристическое уравнение САУ 1+W(p) = 0

Граница устойчивости W(p) = -1, или для ЧПФ W(j) = -1

_с < _- - система устойчива; _с= _- - система на границе устойчивости

_с > _- - система не устойчива

D – разбиение

Для построения границ области устойчивости используются все существующие границы устойчивости:

• 1-го типа (апериодическая) a_n = 0

• 2-го типа (колебательное) D(j) = 0

• 3-го типа (апериодическая) a₀ = 0

Для границы устойчивости 2-го типа имеем D(j, , А, В) = 0.

Разделяя на реальную и мнимую часть:



Затем в плоскости АВ строят F₁() и F₂(), изменяя значение .

Правило штриховки

П еремещаясь вдоль границы устойчивости 2-го типа в сторону увеличения частоты  надо штриховать слева, если положителен определитель:

Если определитель отрицателен, то штриховать надо справа.

Штриховка направлена внутрь области устойчивости,

Критерии качества работы сау

Качества САУ:

- быстродействие

- точность

- устойчивость

1. Критерии быстродействия САУ – основаны на оценке того, насколько быстро САУ реагирует на появление управляющих и возмущающих воздействий.

2. Критерии точности САУ – основаны на оценке величины ошибки в типовых режимах.

3. Критерии запаса устойчивости – основаны на определении того, насколько далеко система находится от границы устойчивости.

4. Интегральные – дают оценку общих свойств САУ и учитывают сразу и точность, и запас устойчивости, и быстродействие системы.