Геометрическая интерпретация линеаризации

В последнем уравнении обозначим

= a₀ ; = a₁; = b₀ ; = b₁ ; = b₂;  _вх  ;  _вых  y

Тогда получим дифференциальное уравнение

+ b₀x или

Здесь a_n  a₀ , b_m  b₀ - постоянные величины, параметры звена; x- входное воздействие;

y – выходной сигнал звена ; n и m - целые числа (n  0 , m  0, n  m); n - порядок звена

Операторный метод записи уравнения звена

Оператор дифференцирования p = d/dt

Умножение на p функции f: ,

Для любого целого

С использованием операторного обозначения уравнение динамического звена запишется:

или вынося за скобку входной и выходной величины:

Обозначим многочлены:

Q(p) = a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +  a₀

R(p) = b_mp^m + b_m-1p^m-1 +  b₀

Тогда уравнение запишется как

Q(p)y(t) = R(p)x(t)

Передаточная функция динамического звена

Выражая y(t) из дифференциального уравнения динамического звена

y(t) = x (t)

Обозначим

= W(p) - передаточная функция динамического звена

Тогда

y(t) = W(p) x (t)

y(t) W(p) x (t)

Последнее выражение нельзя решить, так как в нем присутствуют 2 переменные: реальное время t и оператор p

Анализ работы динамического звена с использованием преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа: F(p) = , при f(0)=0, … fⁿ(0)=0, т.е. при нулевых начальных условиях.

Обратное преобразование Лапласа: f(t) = ,

Также: = p ^k = p ^kF(p) ; k  0 = W(p) = W(p)F(p)

Применяя L-преобразование к y(t) = W(p) x (t) имеем

= ; Y(p) = W(p)X(p); W(p) = - передаточная функция

Алгоритм анализа (определения реакции звена y(t) на входное воздействие X(t))

1. Для известного дифференциального уравнения звена путём подстановки p = находят передаточною функцию W(p)

2. Для известного входного воздействия x(t) по находят изображение по Лапласу X(p)

3. Перемножая X(p)W(p) находят L-образ выходной реакции звена Y(p): Y(p) = W(p)X(p)

4. Применяя обратное преобразование Лапласа находят реакцию звена во временной области

y(t) = L^-1

Временные (динамические) характеристики динамических звеньев

Переходная функция h(t)

x(t)=1(t) W(p) y(t) = h (t)

x(t) = 1(t) =

Если вход x = A  1(t) , то выход y = A  h(t)

Функция веса w(t)

x(t) =  (t) W(p) y(t) = w(t)

x(t) = (t) =

Основное свойство дельта-функции:

Из (t) = 1(t) следует, что w(t) = h(t) = .

Связь h(t) и w(t) с W(p)

W(p) = W(p) = p

Частотная передаточная функция динамического звена

x(t) = X_м sin t W(p) y(t) = Y_м (sin t+)

Входной и выходной сигналы в форме Эйлера

Где F(j) = - преобразование Фурье

Звено описывается дифференциальным уравнением

a₂ + a₁ + a₀y = b₁ + b₀x

Производные входного и выходного сигналов

= jX_M e ^jt = jY_M e ^{j(t + )} = (j)²Y_M e ^{j(t + )}

Подставив в дифференциальное уравнение

a₂(j)²Y_M e ^{j(t + )} + a₁ jY_M e ^{j(t + )} + a₀Y_M e ^{j(t + )} = b₁jX_M e ^jt + b₀X_M e ^jt

Сократив правую и левую части на e ^jt получим

a₂(j)²Y_M e ^j + a₁ jY_M e ^j + a₀Y_M e ^j = b₁jX_M + b₀X_M

Y_M e ^j = X_M W(j) = e ^j = - частотная передаточная функция

Частотная передаточная функция есть комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного, а аргумент – сдвигу фазы выходного сигнала относительно входного.