Двумерное нормальное распределение

Теория корреляции, которая будет предметом следующей лекции, исторически тесно связана с нормальным распределением и двумерным нормальным распределением. Одной из задач статистики с момента ее зарождения как самостоятельной дисциплины было описание характера связи переменных. Наблюдается ли у высоких отцов тенденция иметь высоких сыновей? Даст ли участок земли более высокий урожай зерна, если мы увеличим количество удобрений в почве? Являются ли сообразительные дети менее развитыми физически, чем дети с более скромными интеллектуальными задатками, или нет? Каждый такой вопрос можно изучать отвлеченно как проблему описания характера связи значений переменной X со значениями второй переменной Y для тех же объектов. Таким образом, появляются вопросы о двумерных связях, то есть связях между двумя переменными.

Если мы измеряем по две характеристики у большой группы объектов, например, IQ (X) и физическую силу (Y), то данные можно представить двумерным распределением частот. Для каждого лица существует пара значений – X и Y. Двумерное распределение частот задает частоты, с которыми различные пары значений X и Y встречаются в группе лиц.

Многие двумерные распределения, построенные по данным, накопленным в педагогических и психологических исследованиях, имеют характерную форму. Поверхность, проведенная через концы отрезков, представляющих частоты в двумерном распределении, как правило, напоминает колокол – в трех измерениях, – который можно вытягивать в направлениях X и Y и вращать вокруг центра в плоскости X – Y. Было бы прекрасно, если бы специалист по математической статистике мог найти множество кривых, удовлетворительно описывающих множество двумерных распределений частот. Уравнение поверхности, задаваемое для этой цели, называется двумерным нормальным распределением. Гладкая, непрерывная, колоколообразная поверхность обеспечивает математически удобное и практически удовлетворительное представление многочисленных двумерных нормальных распределений.

Рис.6.4 – Пример двумерных нормальных распределений (поперечные сечения)

Подобно обычному нормальному распределению, двумерное нормальное распределение задается семейством трехмерных поверхностей. Один пример этого семейства представлен на рис. 6.4. Все двумерные нормальные распределения имеют следующие характеристики:

1. Распределение значений X без учета значений Y, которым они соответствуют, есть нормальное распределение.

2. Распределение значений Y без учета значений Х, которым они соответствуют, есть нормальное распределение.

3. Для каждого фиксированного значения X, скажем Х₁, значения Y для объектов, имеющих Х₁, дают нормальное распределение с дисперсией .

4. Для каждого фиксированного значения Y₁ переменной Y значения X для объектов, имеющих Y₁, дают нормальное распределение с дисперсией .

5. Средние значения Y для каждого отдельного значения X ложатся на прямую.

Домашнее задание № 4

Предположим, что монета подбрасывается n раз. Допустим, что она может с равным успехом выпасть как «орлом», так и «решкой». Какова вероятность P того, что в результате n бросаний выпадет n₁ орлов? (с точностью 4 значащих цифры)

№	ПІБ	n	n1	P
1	Болховський Олексій Олександрович	28	14
2	Гріциніна Людмила Сергіївна	28	13
3	Гуля Леся Борисівна	28	12
4	Дорда Ірина В'ячеславівна	28	11
5	Кілядзе Анастасія Олександрівна	28	10
6	Лі Мирослав Ігорович	28	9
7	Ломакін Микита Володимирович	28	8
8	Максименко Дмитро Олегович	28	7
9	Моісєєнко Олексій Сергійович	28	8
10	Непрелюк Олена Дмитрівна	14	1
11	Павлюченко Антон Сергійович	14	2
12	Паладян Юлія Олександрівна	14	3
13	Петрова Олександра В’ячеславівна	14	4
14	Скрипник Анастасія Ігорівна	14	5
15	Ставська Тетяна Володимирівна	14	6
16	Яковлєва Катерина Юріївна	14	7

Домашнее задание № 5

Для единичной нормальной (стандартной) кривой определите координаты точки z (с максимально возможной точностью (с учетом данных в приложении таблиц)) и u (с точностью 5 значащих цифр), если дана площадь под единичной нормальной кривой влево от точки на оси z.

№	ПІБ	Площадь слева от z	Значение z	u – ордината для z
1	Болховський Олексій Олександрович	0,03
2	Гріциніна Людмила Сергіївна	0,05
3	Гуля Леся Борисівна	0,10
4	Дорда Ірина В'ячеславівна	0,15
5	Кілядзе Анастасія Олександрівна	0,20
6	Лі Мирослав Ігорович	0,25
7	Ломакін Микита Володимирович	0,30
8	Максименко Дмитро Олегович	0,35
9	Моісєєнко Олексій Сергійович	0,37
10	Непрелюк Олена Дмитрівна	0,39
11	Павлюченко Антон Сергійович	0,40
12	Паладян Юлія Олександрівна	0,41
13	Петрова Олександра В’ячеславівна	0,43
14	Скрипник Анастасія Ігорівна	0,45
15	Ставська Тетяна Володимирівна	0,47
16	Яковлєва Катерина Юріївна	0,49