4.8. Схема расчета rxy

Номер опыта	xi, %	yi, %
1	19,6	32	384,16	1024	627,2
2	17,7	34	313,29	1156	601,8
3	22,0	33	484,00	1089	726,0
4	20,8	24	432,64	576	499,2
…	…	…	…	…	…
N	19,0	28	361,0	784	532,0
23	438,3	824	8632,31	31688	15105,0

исключения того или иного фактора при исследовании. Для ответа на вопрос, указывает ли найденное значение r на какую-либо корреляцию между случайными величинами, приме- няют t-распределение Стьюдента.

Сначала выдвигаем гипотезу, что случайные величины х и у являются некоррелированными. Затем находим значение t_P с числом степеней свободы f = N — 2 по формуле

Если t_P>t (см. табл. 4.1), то r значим и гипотеза некор- релированности случайных величин — необоснованная.. В расче- те используем абсолютное значение r. Знак коэффициента указывает на характер связи: если с возрастанием одной величи- ны возрастает и вторая, то знак положительный, в противном случае — отрицательный.

Если r значим, то между переменными можно установить зависимость в виде эмпирической прямой регрессии. Примем у в качестве зависимой переменной, х — в качестве независимой. Тогда прямая регрессии у на х имеет уравнение

или

В уравнение подставляют r с тем знаком, который по- лучился при расчете. После подстановки соответствующих значений получим уравнение прямой y = b+kx, в котором k не имеет смысла r. Поэтому в конечных результатах следует указать как степень коррелированности величин r, так и уравнение линии регрессии, графически изображающей функцию регрессии, В конкретном примере y = 76,5 —21,4x. Отметим, что параметры найденного уравнения удовлетворяют принципу наименьших квадратов по у: сумма квадратов откло- нений y_i, от рассчитанных по уравнению прямой регрессии меньше, чем сумма квадратов отклонений их от любой другой прямой.

4.4.1. Построение прямой методом наименьших квадратов

Быстрый графический метод построения прямой разработан Асковицем для случая, когда шаг S между точками по оси

Рис. 4.5. Пример построения прямой графическим методом наименьших квадратов

абсцисс постоянен. Предпола- гается, что только перемен- ная у может иметь ошибку. Это приемлемо в тех случаях, ког- да х задается с точностью на порядок выше, чем точность получения у. На графике (рис. 4.5), взятом из работы [10], светлыми кружками нанесены экспериментальные точки. Гра- фик следует строить на мил- лиметровой бумаге. Для быстрого построения вместо отсчета вспомогательных отрезков по оси х лучше воспользоваться циркулем. Порядок выполнения построения следующий:

1. По оси х наносят новую шкалу делений с шагом, равным 2/3 S. Обозначения этих вспомогательных отрезков для нагляд- ности приподняты над осью х.

2. .Пунктирной линией или линией другого цвета восста- навливают перпендикуляры из точек на границе этих отрезков. (Третий вспомогательный отрезок и второй шаг S заканчиваются в одной точке.)

3. Соединяют точки 1 и 2 (экспериментальные точки прону- мерованы для удобства объяснений) пунктирной линией и на пересечении с перпендикуляром делают отметку «крестиком». Полученную точку соединяют линией с экспериментальной точкой 3 и на пересечении линии со вторым перпендикуляром делают новую отметку. Повторяют эту процедуру, пока не будет получена последняя точка. Эта последняя точка лежит на прямой наименьших квадратов, она помечена черной точкой.

4. Такое же построение проводят с другого конца, двигаясь в противоположном направлении. Находят вторую точку, при- надлежащую прямой наименьших квадратов. (На рисунке показано нахождение только одной из двух точек.)

5. Найденные две точки соединяют и получают искомую прямую линию, сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от которой минимальна.

Метод построения прямой графическим методом наименьших квадратов можно применить при нахождении характеристиче- ской вязкости растворов целлюлозы для построения прямой с последующей экстраполяцией и др.