Решения

11 Класс

1. Докажите, что если разность целых чисел а и в кратна 11, то число а⁴ + в⁴ + 9а²в² делится на 11.

Решение. а⁴ + в⁴+ 9а²в² =( а⁴ -2 а²в² + в⁴)+11а²в² = (а² – в²)² +11а²в² = (а – в)² (а + в)² +11а²в². Так как (а – в) кратно 11, то все выражение кратно 11.

2. В тупоугольном треугольнике провели серединные перпендикуляры к двум сторонам. Они разбили третью сторону на три равных отрезка. Найдите углы треугольника.

Р ешение. Пусть серединные перпендикуляры к сторонам АВ и ВС пересекли сторону АС соответственно в точках Е и F. Заметим, что в треугольниках АЕВ и BFC медиана является высотой, поэтому треугольники являются равнобедренными. Следовательно, АЕ = ВЕ и CF = BF. Точки E и F делят сторону АС на три равные части, поэтому отрезки АЕ, ВЕ, EF, BF и CF равны. Тогда треугольник BEF – равносторонний. В нем угол BFE, внешний для равнобедренного треугольника BCF (BF = CF), равен . Значит,

2. Какое наибольшее число корней может иметь уравнение

│1 -│1-│1-│1-х││││ = а ?

Решение. Постройте график левой части уравнения, по нему будет видно, что прямая у=а может иметь с графиком 0 точек при а <0, 4 точки при а=0, 5 при а =1, 8 при 0<а<1, 2 при а>1. Значит, данное уравнение может иметь максимум 8 решений.

2. В клетках прямоугольной таблицы записаны натуральные числа. За один ход разрешается либо умножить на 2 все числа строки, либо вычесть 1 из всех чисел столбца. Докажите, что можно за несколько ходов сделать во всех клетках числа, равные 0.

Решение. Сначала сделаем равными все числа первого столбца. Будем уменьшать их до тех пор, пока наименьшее из них не станет равно 1. Затем увеличим в 2 раза строки с числами 1 в первом столбце и снова уменьшим числа столбца. После нескольких таких операций все числа станут равными, и их можно будет превратить в нули. После этого все остальные операции над строками не изменят эти числа.

Затем повторим операцию для остальных столбцов.