Решения

7 Класс

1. Лыжник рассчитал, что если он будет пробегать в час 10 км, то прибудет на турбазу на час позже срока, а если – 15 км – то на час раньше срока. С какой скоростью ему надо бежать, чтобы прибыть точно в срок?

Решение. Пусть, прибыв на базу точно в срок, лыжник потратит х часов. Тогда расстояние до базы равно 10(х+1) = 15(х-1) км. Решив уравнение, получим, что х=5, расстояние до базы равно 60 км и, чтобы прибыть на базу вовремя, лыжник должен двигаться со скоростью 12 км/ч.

2. Четверых людей разбили на две пары. Оказалось, что одна пара в сумме старше второй пары на 15 лет. Тогда этих же людей разбили на пары иначе. Может ли получиться так, что одна полученная пара будет младше другой пары ровно на 8 лет?

Решение. Рассмотрим первое разбиение на пары. Так как 15 – число нечетное, то суммарные возрасты пар имеют разную четность. То есть общий возраст всех четырех людей нечетный. Во втором разбиении при четной разности возрастов суммарные возрасты пар имеют одинаковую четность. Значит, в этом случае общий возраст всех четырех людей четный. Получили противоречие.

3. В прямоугольнике 3х5, разбитом на квадраты, вырезан центральный квадрат. Найдите все способы разрезания данной фигуры по линиям сетки на две равные части (два способа считаются различными, если получаются различные фигуры).

Решение. Существует 5 различных способов разрезания.

4. В каждую клетку таблицы 6*6 можно записать одно из чисел 1, 2, 3,…,11. Клетку назовем хорошей, если в 11-ти клетках, стоящих с ней в одной горизонтали или вертикали, есть все числа от 1 до 11. Найдите хотя бы одну расстановку чисел, при которой все клетки главной диагонали являются хорошими.

Решение. Один из возможных вариантов: 1 3 5 7 9 11

2 1 6 8 10 4

4 7 1 11 3 9

6 9 10 1 5 2

8 11 2 4 1 6

10 5 8 3 7 1

МАТЕМАТИКА Школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2014-2015

Решения

8 Класс

1. Из двух городов вышли одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Первый за 2,4 прошёл ⁹/₇₀ всего расстояния между городами, а второй за 2 часа прошёл ¹³/₁₄₀ этого расстояния. С какой скоростью шёл каждый автомобиль, если до места встречи второй прошёл 351 км?

Решение. Пусть 1 - расстояние между городами.

1) - такую часть от расстояния между городами составляет V₁;

2) : - такую часть расстояния между городами составляет V₂;

3) - на такую часть расстояния сближались автомобили в час;

4) (ч) - время движения каждого автомобиля до встречи;

5) 351 : 10 = 35,1(км/ч) - скорость второго

6) - во столько раз V₁>V₂;

7) (км/ч) - скорость первого.

Ответ: скорость первого 35,1 км/ч, второго - 40,5 км/ч.

2. Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 3024. Найдите эти числа. Ответ объясните.

Решение. Все числа не могут быть больше 10 (3024<10000). Среди этих чисел нет 5 и 10. Поэтому искомыми числами могут быть 1, 2, 3, 4 или 6, 7, 8, 9. Условию удовлетворяют 6, 7, 8, 9.

3. Двоечник Вася вырвал три листа из дневника. Некоторые из них (может быть и все) он разорвал на три части или на пять частей. Некоторые из получившихся кусков бумаги он опять разорвал на три или пять частей, и так далее. Мог ли Вася, действуя таким образом, получить ровно 2014 кусочков бумаги? Ответ объясните.

Решение. Если рвать лист бумаги на 3 части, то количество кусков увеличится на 2, если на 5 частей, то оно увеличится на 4. Так как вначале было 3 листа, то после каждого хулиганского действия Васи количество кусков оставалось нечетным, следовательно, получиться ровно 2014 куска не могло.

4. Дан угол в 36^о. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 99^о? Запишите план построения.

Решение. Данный угол разделим с помощью циркуля и линейки на 4 равные части, затем построим угол в 90^о и к нему пристроим с помощью циркуля и линейки 1/4 часть данного угла.

МАТЕМАТИКА Школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2014-2015