МАТЕМАТИКА Школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2014-2015
Решения
5 Класс
Кузнечик прыгает по прямой большими и малыми прыжками. Большой прыжок составляет 12см, малый - 7см. Как ему попасть из т.О в т.А, находящуюся от неё на расстоянии 3см?
Решение. Кузнечик может попасть из т.О в т.А, сделав, например, из т.О в направлении к т.А два прыжка по 12см и в обратном направлении 3 прыжка по 7см.
Найдите частное от деления двух целых чисел, если оно в семь раз меньше одного из них, и в семь раз больше другого.
Решение. Пусть частное х в 7 раз меньше делимого а и в 7 раз больше делителя в, тогда а=7х, а х=7в. Значит, а=49в, то есть, частное равно 49.
Петю кормили конфетами. Сначала ему дали одну конфету. Затем Петя ел конфеты по следующему принципу: если съеденная конфета ему нравилась, то ему давали еще две конфеты, если не нравилась, то он ел следующую имеющуюся у него конфету. Двадцать пятая конфета Пете не понравилась, и конфеты у него кончились. Сколько из 25-и съеденных Петей конфет ему понравились?
Решение. После первой конфеты Петя получил еще 24 конфеты: за каждую понравившуюся конфету ему давали еще две. Значит, ему понравилось 24:2=12 конфет.
Четырехзначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Приведите пример такого исходного числа.
Решение. В качестве примера подойдет любое число с суммой цифр 14, оканчивающееся на 8 или на 9. Например, 2228 или 3209.
МАТЕМАТИКА Школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2014-2015
Решения
6 Класс.
Яша идёт от дома до школы 30 минут, а его брат Петя - 40 минут. Петя вышел из дома на 5 минут раньше Яши. Через сколько минут Яша догонит Петю?
Решение. Разделим путь от дома до школы на 120 равных кусочков, тогда скорость Яши 4кус/мин, а Пети — 3кус/мин. Скорость их сближения, когда Яша догоняет Петю, 1кус/мин. За 5 минут Петя пройдёт 15 кусочков, значит Яша догонит Петю через 15 минут.
В январе некоторого года было 4 пятницы и 4 понедельника. Каким днём недели было 20 января этого года? Ответ объясните.
Решение. В январе 31 день. Ясно, что дни 29, 30 и 31 января не могут быть ни пятницей, ни понедельником, но тогда 31 января не может быть ни вторником, ни средой, ни субботой, ни воскресеньем. Следовательно, 31 — четверг, тогда 20 — воскресенье.
Ваня, Коля и Петя играли в настольный теннис «на высадку», то есть, в каждой партии двое играют, а третий – ждет, и в следующей партии заменяет проигравшего (ничьих не бывает). В итоге оказалось, что Ваня сыграл 12 партий, а Коля – 25 партий. Сколько партий Коля отдыхал? Ответ объясните.
Решение. Сыграно не менее 25 партий. Значит, Петя участвовал не меньше, чем в 25 - 12=13 партиях. Но, так как ни один из мальчиков не отдыхал больше, чем одной партии подряд, то Ваня не мог отдыхать больше, чем 13 раз, а значит, Петя не мог сыграть больше, чем 13 партий. Таким образом, общее количество партий не может быть больше, чем 25. Следовательно, Коля не отдыхал.
98 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество спичек в этом коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечетным числом?
Решение. Не может, так как произведение нечетно, если все множители нечетны. Но сумма 19-ти нечетных чисел не может в сумме дать четное число 98.
МАТЕМАТИКА Школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2014-2015