4.Тест на выбор «длинной» или «короткой» регрессии.
Данный тест используется для отбора наиболее существенных объясняющих переменных. Например, переход от большого числа исходных показателей состояния анализируемой системы к меньшему числу наиболее информативных переменных может быть обусловлен дублированием информации, доставляемой сильно взаимосвязанными признаками или неинформативностью признаков, мало меняющихся при переходе от одного объекта к другому. Так, если две какие-либо объясняющие переменные сильно коррелированы с результирующим показателем и друг с другом, то часто бывает достаточно включения в модель одной из них, а дополнительным вкладом от включения другой можно пренебречь.
Пусть
.
Предположим, что модель не зависит от
последних
объясняющих переменных и их можно
исключить из модели. Это соответствует
гипотезе
,
т.е.
последние
коэффициентов
равны
.
Тест по проверке данной гипотезы состоит в следующем:
Построить по МНК «длинную» (unrestricted) регрессию по всем параметрам и найти для нее
.Используя МНК, построить «короткую» (restricted) регрессию по первым
параметрам
и найти для нее
.Вычислить F-статистику:
Найти критическую точку распределения Фишера при выбранном уровне значимости :
.Если
,
то гипотеза
отвергается,
т.е. следует использовать «длинную»
модель.
Если
,
то гипотеза
принимается, т.е. лучше «короткая»
модель.
Пример 2. По данным, представленным в таблице, изучается зависимость индекса человеческого развития от переменных:
- ВВП 1997 г., % к 1990 г.;
- суточная калорийность питания населения, ккал на душу населения;
-
ожидаемая продолжительность жизни при
рождении 1997 г.,
число лет;
-
расходы на конечное потребление в
текущих ценах, % к ВВП;
-
расходы домашних хозяйств, % к ВВП;
-
валовое накопление, % к ВВП.
Данные приведены в таблице 2.
Таблица 2.
Страна |
|
|
|
|
|
|
|
Австрия |
0,904 |
115 |
3343 |
77,0 |
75,5 |
56,1 |
25,2 |
Австралия |
0,922 |
123 |
3001 |
78,2 |
78,5 |
61,8 |
21,8 |
Белоруссия |
0,763 |
74 |
3101 |
68,0 |
78,4 |
59,1 |
25,7 |
Бельгия |
0,923 |
111 |
3543 |
77,2 |
77,7 |
63,3 |
17,8 |
Великобритания |
0,918 |
113 |
3237 |
77,2 |
84,4 |
64,1 |
15,9 |
Германия |
0,906 |
110 |
3330 |
77,2 |
75,9 |
57,0 |
22,4 |
Дания |
0,905 |
119 |
3808 |
75,7 |
76,0 |
50,7 |
20,6 |
Индия |
0,545 |
146 |
2415 |
62,6 |
67,5 |
57,1 |
25,2 |
Испания |
0,894 |
113 |
3295 |
78,0 |
78,2 |
62,0 |
20,7 |
Италия |
0,900 |
108 |
3504 |
78,2 |
78,1 |
61,8 |
17,5 |
Канада |
0,932 |
113 |
3056 |
79,0 |
78,6 |
58,6 |
19,7 |
Казахстан |
0,740 |
71 |
3007 |
67,6 |
84,0 |
71,7 |
18,5 |
Китай |
0,701 |
210 |
2844 |
69,8 |
59,2 |
48,0 |
42,4 |
Латвия |
0,744 |
94 |
2861 |
68,4 |
90,2 |
63,9 |
23,0 |
Нидерланды |
0,921 |
118 |
3259 |
77,9 |
72,8 |
59,1 |
20,2 |
Норвегия |
0,927 |
130 |
3350 |
78,1 |
67,7 |
47,5 |
25,2 |
Польша |
0,802 |
127 |
3344 |
72,5 |
82,6 |
65,3 |
22,4 |
Россия |
0,747 |
61 |
2704 |
66,6 |
74,4 |
53,2 |
22,7 |
США |
0,927 |
117 |
3642 |
76,7 |
83,3 |
67,9 |
18,1 |
Украина |
0,721 |
46 |
2753 |
68,8 |
83,7 |
61,7 |
20,1 |
Финляндия |
0,913 |
107 |
2916 |
76,8 |
73,8 |
52,9 |
17,3 |
Франция |
0,918 |
110 |
3551 |
78,1 |
79,2 |
59,9 |
16,8 |
Чехия |
0,833 |
99,2 |
3177 |
73,9 |
71,5 |
51,5 |
29,9 |
Швейцария |
0,914 |
101 |
3280 |
78,6 |
75,3 |
61,2 |
20,3 |
Швеция |
0,923 |
105 |
3160 |
78,5 |
79,0 |
53,1 |
14,1 |
Отчет по «длинной» регрессии приведен в таблице 3, а по «короткой» - представлен в таблице 4.
В результате посчитана F-статистика
Таблица 3a.
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
Регрессия |
6 |
0.2375 |
0.0396 |
81.0051 |
4.86777E-12 |
Остаток |
18 |
ESSUR = 0.0088 |
0.0005 |
|
|
Итого |
24 |
0.2463 |
|
|
|
Таблица 3б.
|
Коэффи-циенты |
Стандарт-ная ошибка |
t-стати-стика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
-0.63627 |
0.15485 |
-4.10892 |
0.00066 |
-0.96160 |
-0.31094 |
|
-0.00048 |
0.00023 |
-2.08803 |
0.05128 |
-0.00095 |
0.00000 |
|
0.00004 |
0.00002 |
2.11404 |
0.04873 |
0.00000 |
0.00009 |
|
0.01854 |
0.00159 |
11.65416 |
0.00000 |
0.01519 |
0.02188 |
|
0.00131 |
0.00146 |
0.89470 |
0.38276 |
-0.00176 |
0.00438 |
|
-0.00141 |
0.00123 |
-1.14140 |
0.26866 |
-0.00400 |
0.00118 |
|
0.00015 |
0.00139 |
0.10685 |
0.91609 |
-0.00277 |
0.00307 |
Таблица 4a.
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
Регрессия |
3 |
0.2368 |
0.0789 |
174.7949 |
0.0000 |
Остаток |
21 |
ESSR = 0.0095 |
0.0005 |
|
|
Итого |
24 |
0.2463 |
|
|
|
Таблица 4б.
|
Коэффи-циенты |
Стандарт-ная ошибка |
t-стати-стика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
-0.62115 |
0.06739 |
-9.21774 |
0.00000 |
-0.76128 |
-0.48101 |
|
-0.00054 |
0.00014 |
-3.69691 |
0.00134 |
-0.00084 |
-0.00023 |
|
0.00004 |
0.00002 |
2.24223 |
0.03587 |
0.00000 |
0.00008 |
|
0.01873 |
0.00128 |
14.63733 |
0.00000 |
0.01607 |
0.02139 |
Табличное значение F-статистики находится следующим образом:
FРАСПОБР(0.05;3;18)
= 3.15991
Так
как
,
то гипотеза
принимается, и, следовательно, выбирается
«короткая» модель:
.