Числовые значения параметров к заданию 1

№ вар.

Координаты точек x/y, мм

Координаты центров окружностей (дуг окружностей) и их радиусы - x/y; R, мм

А

Б

В

Г

О1

О2

О3

О4

О5

О6

О7

О8

1

0/140

32/72

32/60

20/50

0/… R…

34/116 R16

34/… R14

…/… R5

-

-

-

-

2

40/0

-

-

-

0/… R40

35/40 R18

…/0 R…

35/40 R8

0/25 R10

0/0 R25

0/25 R5

0/0 R15

3

55/0

-

-

-

0/… R20

26/59 R15

…/0 R…

26/59 R8

0/0 R30

0/0 R20

-

-

4

18/38

12/99

12/111

-

0/10 R10

…/… R…

…/… R44

-

-

-

-

-

5

-

-

-

-

0/0 R50

…/0 R…

…/… R35

0/88 R25

0/88 R10

0/43 R25

…/0 R…

0/0 R38

6

0/-11

0/11

-

-

0/… R…

40/0 R25

0/100 R40

0/100 R25

…/… R5

…/… R8

0/… R…

40/0 R15

7

50/0

-

-

-

0/60 R30

…/0 R…

0/60 R10

0/60 R20

…/… R15

0/0 R36

0/0 R20

-

8

0/22

-

-

-

50/0 R20

…/… R20

0/50 R20

0/50 R12

50/0 R10

15/0 R15

0/… R…

15/0 R5

9

50/0

5/0

-

-

0/-18 R44

…/0 R…

0/18 R44

0/-38 R18

0/-38 R10

…/… R7

0/0 R37

-

0

33/0

0/110

0/90

0/15

…/10 R25

45/100 R20

0/… R…

0/… R…

27/82 R13

12/… R10

-

-

Положение 1. Прямая, касательная к окружности составляет прямой угол с радиусом, проведенным в точку М касания - точку сопряжения (рис.3.2, а).

Положение 2. Точка М касания двух окружностей - точка сопряжения расположена на прямой, соединяющей их центры (рис. 3.2, б).

Р ис. 3.2 Точки сопряжения

Положение 3. Геометрическим местом центров окружностей радиуса R, касательных к данной прямой, является прямая, параллельная данной прямой и отстоящая от неё на величину радиуса окружности R (рис. 3.3, а).

Положение 4. Геометрическим местом центров окружностей радиуса R₁, касательных к данной окружности радиуса R, является окружность, описанная из центра данной окружности, радиусом (R+R₁) при внешнем касании окружностей (рис. 3.3, б) или радиусом (R-R₁) при внутреннем касании (рис. 3.3, в).

Рис. 3.3 Геометрическое место центров окружностей

Рассмотрим алгоритмы решения некоторых задач на построение сопряжений, которые могут встретиться при выполнении задания.

Первая группа алгоритмов связана с построением сопряжения двух окружностей прямой линией при заданных радиусах и положениях их центров.

Задача 1. Построить сопряжение двух окружностей прямой линией.

В этом случае СФ обычно задается параметрическим числом П=6 (ПП=4; ПФ=2), связанным с окружностями, и геометрическим условием касания (внешнее или внутреннее), воспринимаемым с чертежа визуально.

Построения связаны с определением точек касания (сопряжения) М₁ и М₂ (рис. 1.4). Реализуем одно из возможных решений.

Внешнее касание (рис. 3.4, а). Из центра О₁ большей окружности строим вспомогательную окружность радиусом (R₁-R₂). Делим отрезок О₁О₂ пополам в точке О₃ и проводим вторую вспомогательную окружность радиусом R=О₃О₁. Точка В пересечения вспомогательных окружностей определит направление радиуса О₁М₁, где М₁ (см. положение 1) искомая точка сопряжения окружности R₁. Для построения точки М₂ сопряжения окружности R₂ достаточно из центра О₂ провести радиус О₂М₂ параллельный радиусу О₁М₁.

Внутреннее касание (рис. 3.4, б). Из центра О₁ большей окружности строим вспомогательную окружность радиусом (R₁+R₂). Дальнейшие построения аналогичны построениям по рис. 1.4, а.

Рис. 3.4 Построение касательной к двум данным окружностям:

а) – внешнее касание; б) – внутреннее касание

Задача 2. Построить касательную к данной окружности (П=3) из данной точки А (П=2).

Алгоритм решения задачи является частным случаем алгоритма задачи 1. Реализуем одно из возможных решений.

Т очка сопряжения (касания) М (рис. 3.5) расположена на окружности R в точке её пересечения со вспомогательной окружностью проведенной из середины О₁ отрезка ОА радиусом, равным половине О₁О этого отрезка (см. положение 1 и рис.3.2, а).

Рис. 3.5 Построение касательной к окружности из данной точки

Вторая группа алгоритмов связана с построением сопряжения двух данных линий дугой окружности, называемой дугой сопряжения, при известном радиусе дуги сопряжения.

В общем случае алгоритм построения таких сопряжений состоит из следующих этапов [5].

1. Строят множество точек, расположенных на расстоянии радиуса дуги сопряжения от первой из сопрягаемых линий ( см. положения 3 и 4 и рис. 3.3).

2. Стоят множество точек, расположенных на расстоянии радиуса дуги сопряжения от второй из спрягаемых линий (см. положения 3 и 4 и рис. 3.3).

3. В пересечении множеств точек определяют центр дуги сопряжения.

4. Определяют точки сопряжения на первой и второй сопрягаемых линиях (см. положения 1 и 2 и рис. 3.2).

5. В зоне между точками сопряжения проводят дугу сопряжения.

Задача 3. Построить сопряжение двух пересекающихся прямых дугой сопряжения радиуса R (рис. 3.6).

Данная система имеет параметрическое число П=5 (ПП=4; ПФ=1).

Для определения положения центра O дуги сопряжения (рис. 3.6, а) в соответствии с положением 3 и рис. 3.3, а проводим две вспомогательные прямые, параллельные данным m и n, на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения. Точка O пересечения вспомогательных прямых и является центром дуги сопряжения. Точки сопряжения М₁ и М₂ определяем в основании перпендикуляров, опущенных из т. О на данные прямые (см. положение 1 и рис. 3.2, а).

При построении сопряжения прямого угла (рис. 3.6, б) положение центра дуги сопряжения можно определить проще. Из вершины угла проводи дугу радиусом R, равным радиусу дуги сопряжения. На сторонах угла получим точки сопряжения М₁ и М₂. из этих точек, как из центров, проводим дуги радиусом R до их взаимного пересечения в точке О, являющейся центром дуги сопряжения.

Рис. 3.6 Сопряжение пересекающихся прямых дугой заданного радиуса

Задача 4. Построить сопряжение двух данных окружностей радиуса R₁ и R₂ дугой сопряжения радиуса R₃ (рис. 3.7).

Параметрическое число системы П=7 (ПП=4; ПФ=3).

Рис. 3.7 Сопряжение двух окружностей дугой окружности заданного радиуса

а) – внешнее касание, б) – внутреннее касание

Внешнее касание (рис.1.7, а). Центр О₃ дуги сопряжения находим в пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О₁ и О₂, радиусами (R₁+R₃) и (R₂+R₃) соответственно (см. положение 4 и рис. 3.3, б). Точки сопряжения М₁ и М₂ определяются на основании положения 2 и рис. 3.2, б в пересечении прямых О₁О₃ и О₂О₃ с данными окружностями.

Внутреннее касание (рис. 3.7, б). Центр О₃ дуги сопряжения находим в пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О₁ и О₂, радиусами (R₃-R₁) и (R₃-R₂) соответственно (см. положение 4 и рис. 3.3, в). Точки сопряжения М₁ и М₂ определяются на основании положения 2 и рис. 3.2, б в пересечении продолжения прямых О₃О₁ и О₃О₂ с данными окружностями.

Задача 5. Построить сопряжение дуги окружности радиуса R и прямой линии дугой сопряжения радиуса R₁ (П=6; ПП=4; ПФ=2).

Внешнее касание (рис. 3.8, а). Центр О₁ дуги сопряжения определяем в пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от данной на величину радиуса R₁ дуги сопряжения, и дуги радиуса (R+R₁), описанной из центра О (см. положения 3, 4 и рис. 3.3, а, б). Точки сопряжения М₁ и М₂ находим в пересечении прямой ОО₁ с заданной окружностью и в основании перпендикуляра О₁М₂ соответственно (см. положения 1 и 2 и рис. 3.2).

Внутреннее касание (рис. 3.8, б). Центр О₁ дуги сопряжения определяем в пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от данной на величину радиуса R₁ дуги сопряжения, и дуги радиуса (R-R₁), описанной из центра О (см. положения 3, 4 и рис. 3.3, а, в). Точки сопряжения М₁ и М₂ находим в пересечении продолжения прямой ОО₁ с заданной окружностью и в основании перпендикуляра О₁М₂ соответственно (см. положения 1, 2 и рис. 3.2).

Рис. 3.8 Сопряжение дуги окружности и прямой линии дугой заданного радиуса

а) – внешнее касание, б) – внутреннее касание

Третья группа алгоритмов связана с решением задач на построение сопряжений, когда положение центра и радиус дуги сопряжения заранее неизвестны. В этом случае исходные данные содержат дополнительные условия. Например, известна одна из точек сопряжения или другая точка, принадлежащая дуге сопряжения, или прямая, на которой расположен центр дуги сопряжения.

Задача 6. Построить сопряжение двух пересекающихся прямых m и n дугой сопряжения в заданной точке А, принадлежащей одной из прямых (П=5; ПП=4; ПФ=1).

Центр О дуги сопряжения (рис. 3.9). определяем в пересечении перпендикуляра, восставленного из точки А (см. положение 1 и рис. 3.2, а) с биссектрисой угла, образованного заданными прямыми.

Для построения биссектрисы угла из его вершины K проводим дугу произвольного радиуса R до пересечения со сторонами угла в точках C и D. Из полученных точек, как из центров, проводим две дуги произвольного радиуса R₁ до их взаимного пересечения в точке N. Прямая KN является биссектрисой угла между прямыми m и n.

Р ис. 3.9 Сопряжение пересекающихся прямых при заданной точке сопряжения

Вторую точку сопряжения В находим в пересечении перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую m. Радиус дуги сопряжения равен отрезкам ОА=ОВ.

Задача 7. Построить сопряжение данной окружности радиусом R дугой сопряжения, проходящей через точку А на прямой m, если известно, что центр дуги сопряжения принадлежит прямой m (рис. 3.10).

Данная окружность полностью определена – П=3. Для дуги сопряжения в точке А задано направление диаметра – прямая m, то есть для нее определен один параметр положения.

Внутреннее касание (рис. 3.10, а). На прямой m вниз от точки А откладываем отрезок АВ, равный радиусу R данной окружности. Соединяем прямой точку В с центром О окружности. Через середину отрезка ВО восстанавливаем к нему перпендикуляр n. В пересечении прямых m и n получаем точку О₁ – центр искомой дуги сопряжения. В соответствии с положением 2 и рис. 3.2, б точка М– точка сопряжения; О₁М=О₁А – радиус дуги сопряжения.

Внешнее касание (рис. 3.10, б). При построении сопряжения при внешнем касании точку В строим сверху от точки А. Остальная часть алгоритма не меняется.

Рис. 3.10 Сопряжение окружности дугой, проходящей через точку на прямой

а) – внутреннее касание, б) – внешнее касание