9.3 Застосування інтерполяційного полінома Лагранжа для обчислення власного інтегралу
Нехай необхідно обчислити власний інтеграл
,
(9.9)
де функція - неперервна на відрізку .
Розіб’ємо відрізок
на
рівних частин, так що
,
,
де
,
і
.
Тепер функцію
можна апроксимувати поліномом Лагранжа
степені
.
У відповідності з (9.6)
,
(9.10)
де
.
Наближене значення власного
інтегралу (9.9) отримаємо шляхом заміни
підінтегральної функції
її наближенням
.
У результаті отримаємо формулу числового
інтегрування
,
(9.11)
яка носить назву формули Ньютона-Котса.
У формулі (9.11) зробимо такі
заміни:
.
Тоді
,
і
.
Відповідним чином зміняться і межі
інтегрування: при
змінна інтегрування
,
а при
будемо мати -
,
де
.
Звідси випливає, що
.
Отже,
. (9.12)
З врахуванням зроблених замін у формулі (9.12) підінтегральний вираз набуде такого значення
.
(9.13)
Надаючи величині різні значення, можна отримати цілий ряд формул, які з різною точністю дають наближення власного інтегралу (9.9).
Для
у відповідності з формулами (9.12) і (9.13)
отримаємо
,
.
Знаходимо
.
Аналогічно знаходимо, що
.
Відповідно до формули (9.12) маємо
.
Остання формула носить назву
формули трапецій
обчислення наближеного значення
інтегралу (9.9) на відрізку
(
,
).
Для
будемо мати
,
і
.
Тепер
.
Аналогічно знаходимо, що
,
і нарешті,
.
Таким чином,
.
Отримана формула наближеного обчислення власного інтегралу носить назву формули Сімпсона.
Якщо взяти
,
то отримаємо так звану формулу
Сімпсона 3/8,
при
будемо мати формулу
Буля.
Для підвищення точності
числового інтегрування відрізок
розбивають на
інтервалів
,
,
,
…,
,
де
,
,
і для кожного інтервалу
,
обчислюють наближене значення інтегралу
за формулою трапецій
.
Тоді
.
Якщо врахувати значення
,
то
. (9.14)
Остання формула носить назву складена формула трапецій.
Складену формулу Сімпсона для наближеного обчислення визначеного інтегралу (9.9) можна отримати, якщо відрізок розбити на парне число інтервалів - . У такому випадку:
, (9.15)
де
,
,
.
Підставлення значень у вираз (9.15) приводить до наступного результату:
. (9.16)
При використанні формул (9.14) і (9.15) виникають похибки
,
,
які мають порядок
і
відповідно. Це означає, що похибка
формули Сімпсона прямують до нуля
швидше, ніж похибка формули трапецій
при
.
У тому випадку, коли відомі
похідні другого
і четвертого
порядків
функції
,
формули
і
,
де
,
можна використовувати для підрахунку
числа інтервалів, які необхідні для
досягнення заданої точності.
9.4 Кусково-поліномна апроксимація
У тих випадках, коли відрізок
,
на якому виконується заміна функції
інтерполяційним поліномом
,
є досить великим і відсутні підстави
вважати функцію
(яка, як правило, невідома) достатньо
гладкою при
,
немає сенсу підвищувати точність
інтерполяції за рахунок збільшення
степені полінома
.
У таких випадках доцільно застосовувати
кусково-поліномну
апроксимацію, допускаючи,
що функція апроксимації
складається із окремих поліномів, як
правило, невисокої степені, кожний із
яких визначений на своїй частині відрізку
.