2.3.3. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса для эсп в вакууме

Поток вектора напряженности электростатического поля через площадку :

,

где – угол между вектором напряженности и нормалью к площадке (рис. 5).

Рис. 5

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность:

. (8)

Теорема Гаусса для ЭСП в вакууме:

. (9) Поток вектора напряженности ЭСП в вакууме через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на .

Теорему Гаусса используют для расчета напряженности ЭСП, имеющих симметрию. В таких полях можно выбрать вспомогательную поверхность, для которой просто вычисляется интеграл в левой части теоремы Гаусса (9). Приведем результаты расчета напряженности ЭСП с помощью теоремы Гаусса.

1) Поле сферы радиуса , равномерно заряженной по поверхности, на расстоянии от центра сферы:

а) внутри сферы ;

б) на поверхности сферы , где – заряд сферы; (10)

в) вне сферы . (11)

2) Поле нити (или цилиндра радиуса при ) на расстоянии от нити (или от оси цилиндра):

(12)

Здесь ; – линейная плотность заряда: отношение заряда нити (цилиндра) к длине нити .

3) Поле плоскости, бесконечной и равномерно заряженной:

(13)

где – поверхностная плотность заряда: – отношение заряда к площади плоскости , на которой находится заряд.

2.3.4. Потенциал. Работа перемещения заряда в эсп. Связь напряженности и потенциала

Потенциал – энергетическая характеристика ЭСП, в данной точке поля равная отношению

(14)

где – потенциальная энергия пробного заряда , помещенного в данную точку ЭСП.

В поле точечного заряда потенциал точки, находящейся на расстоянии от заряда:

, (15)

где – заряд, создающий поле.

Потенциал – алгебраическая величина, его знак равен знаку заряда , создающего поле (см. формулу (15)). Потенциал ЭСП, созданного в данной точке несколькими зарядами (точечными, а также и распределенными по длине или по поверхности заряженных тел) равен алгебраической сумме потенциалов полей всех заряженных тел в этой точке:

(16)

Работа по перемещению точечного заряда из точки 1 в точку 2 в электростатическом поле определятся формулой:

(17)

где – убыль потенциальной энергии заряда ; – разность потенциалов начальной и конечной точек для заряда, перемещающегося в ЭСП.

Потенциал связан с напряженностью ЭСП следующим соотношением:

, (18)

где – вектор градиента потенциала.

Проекция вектора напряженности на направление вектора градиента потенциала

(19)

Здесь – модуль градиента потенциала.

В однородном ЭСП, в котором вектор напряженности одинаков во всех точках поля, модуль напряженности

, (20)

где – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; – расстояние между этими поверхностями по нормали к ним, т. е. вдоль силовой линии ЭСП.

Таким образом, имеется три способа расчета напряженности электростатического поля:

1) С помощью принципа суперпозиции, применяемого в следующих случаях:

а) для системы точечных зарядов – по формуле (6), (см. рис. 3);

б) поле создано несколькими заряженными телами, например: нить и точечный заряд; две плоскости; плоскость и нить и т. п., – также по формуле (6);

в) для распределенного заряда – по формуле (7).

Этим методом удается найти, как правило, только значение напряженности в одной выбранной точке; лишь в отдельных случаях, например, для ЭСП, созданного электрическим диполем, можно найти зависимость , т. е. напряженность поля как функцию расстояния от зарядов.

2) С помощью теоремы Гаусса – по формуле (9), для полей, обладающих симметрией (сферической, осевой или зеркальной). Для таких полей метод позволяет найти функцию – зависимость напряженности от расстояния от центра (оси) симметрии поля.

3) С использованием формулы связи  – по формулам (19) и (20). Если известна зависимость , то можно, используя формулу (19), путем дифференцирования найти функцию . По формуле (20) находят численное значение напряженности , которое одинаково во всех точках однородного ЭСП.