Решение

Для описания движения протона удобно представить вектор его скорости как сумму двух составляющих, одна из которых – направлена вдоль линий индукции магнитного поля , а вторая – перпендикулярна им (рис. 71). Тогда сила Лоренца, действующая на протон, запишется в следующем виде:

, (1)

Дано

Протон: ; ; ; ; .   Рис. 71

так как для коллинеарных векторов величина . Следовательно, составляющая скорости , т. е. не изменяется ни по модулю, ни по направлению. С этой скоростью протон будет двигаться равномерно и прямолинейно вдоль линий магнитного поля Составляющая скорости (см. рис. 71) остается постоянной по модулю, но непрерывно изменяет свое направление под действием силы Лоренца, так как эта сила сообщает протону центростремительное ускорение.

Таким образом, протон участвует в двух движениях: равномерном и прямолинейном со скоростью параллельно линиям индукции МП и во вращательном движении в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции. В результате наложения этих двух независимых движений траекторией протона будет винтовая линия.

Для определения радиуса винтовой линии применим второй закон Ньютона в проекции на нормаль к окружности витка:

(2)

Подставляя составляющую скорости протона , выразим радиус

(3)

Вычисляем величину радиуса винтовой линии

.

Шаг винтовой линии находим по формуле пути при равномерном прямолинейном движении:

, (4)

где – период обращения (время одного оборота). Чтобы найти величину периода, запишем формулу пути для равномерного движения протона по окружности со скоростью :

(5)

Подставляя величину радиуса окружности по формуле (3), получаем период обращения протона в магнитном поле:

(6)

С учетом этого выражения формула (4) преобразуется в следующую расчетную формулу шага винтовой линии:

(7)

Вычисляем величину :

.

Задача 41. Альфа-частица со скоростью влетает в скрещенные под прямым углом электрическое и магнитное поля. Напряженность электрического поля , магнитная индукция Определите ускорение -частицы в момент вхождения ее в область пространства, где существуют поля. Скорость частицы перпендикулярна векторам и , а силы, действующие на -частицу со стороны этих полей, направлены противоположно друг другу.

Дано Решение

-частица ( : ; ; ; ; ; и ); ; . ? Рис. 72

Показываем на рис. 72 направление силовых характеристик полей и , в соответствии с условием задачи, и направление электрической и магнитной сил: , поэтому , так как заряд -частицы положительный; по условию задачи. После этого определяем направление вектора скорости частицы – оно должно быть таково, чтобы по правилу левой руки получить направление силы Лоренца, которая уже показана, как направленная противоположно электрической силе (см. рис. 72).

Записываем формулу Лоренца для силы, действующей на заряженную частицу в электрическом и магнитном полях:

(1)

Эта формула отражает принцип суперпозиции сил (независимости их действия). Проекция силы на ось , которая выбрана параллельной вектору напряженности электрического поля , запишется в виде:

(2)

Здесь при записи модуля силы Лоренца учтено, что вектор , поэтому .

Проекцию ускорения на ось находим по второму закону Ньютона:

(3)

Вычисляем ускорение, учитывая, что 1 а.е.м. :

.

Проекция ускорения альфа-частицы на ось положительна, следовательно, ускорение частицы направлено вдоль оси и совпадает по направлению с электрической силой, которая по модулю больше, чем магнитная, в условиях данной задачи.

Задача 42. В скрещенные под прямым углом однородные электрическое и магнитное поля влетает ион. Напряженность магнитного поля , а напряженность электростатического поля . Определите величину и направление вектора скорости , при которых движение иона в этих полях будет прямолинейным и равномерным.

Дано Решение

; . z Рис. 73

В области пространства, где совмещены электрическое и магнитное поля, на движущийся ион действуют две силы: электрическая и магнитная – сила Лоренца . Для положительно заряженного иона электрическая сила сонаправлена с напряженностью электрического поля: (рис. 73), так как эта сила

. (1)

Сила Лоренца определяется формулой

(2)

При прямолинейном равномерном движении иона его скорость , а ускорение . Следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона: , – необходимо, чтобы результирующая сила , действующая на заряженную частицу со стороны обоих полей, была равна нулю, т. е. действие электрической и магнитной сил должно быть взаимно скомпенсировано:

(3)

Соответственно, направляем вектор силы Лоренца (см. рис. 73). Вектор скорости иона направлен вдоль линии, перпендикулярной вектору силы Лоренца, так как, согласно векторному произведению (2), . Из двух линий, перпендикулярных оси , вдоль которой направлена сила Лоренца, выбираем для скорости ось , а не , так как в случае сила Лоренца обратилась бы в нуль (см. формулу (2)). Вектор направим в положительном направлении оси , чтобы по правилу левой руки получить заданное направление силы Лоренца (см. рис. 73).

В соответствии с формулой (3), приравниваем модули электрической и магнитной сил:

(4)

Здесь в векторном произведении , так как скорость частицы (см. рис. 73). Из равенства (4) выражаем искомую величину скорости иона:

или . (5)

Здесь магнитная проницаемость вакуума , так как только в вакууме возможно движение ионов без соударений с молекулами среды – воздуха.

Вычисляем скорость иона по расчетной формуле (5):

.

Отметим, что рассмотренное выше движение ионов в скрещенных электрическом и магнитном полях используется в фильтре скоростей, который обычно является составной частью масс-спектрометров и других приборов и устройств. Фильтр предназначен для выделения из пучка ионов частиц с определенной скоростью, величину которой можно рассчитать, как это сделано в решении данной задачи.