Решение

Так как магнитное поле создается двумя проводниками с током, то магнитную индукцию поля в точке А определяем по принципу суперпозиции:

, (1)

где – индукция МП, созданная в точке А первым проводником с током ; – та же величина, созданная вторым проводником с током

Дано

; ; ; . А а б Рис. 61

Для сложения векторов и необходимо показать их на рисунке. Эти векторы идут по касательным к линиям магнитной индукции, которые представляют собой окружности радиусом , охватывающие первый и второй проводники. Касательные проводим перпендикулярно радиусу соответствующей окружности (рис. 61 б).

Результирующий вектор , согласно принципу суперпозиции (1), находим по правилу параллелограмма (треугольника). Модуль его определяем по теореме косинусов:

(2)

где угол (так как ( , (см. рис. 61 б)). Модули магнитной индукции поля, созданного первым и вторым проводниками, определяются формулами:

(3)

Здесь магнитная проницаемость воздуха

Подставляем эти величины в уравнение (2) и получаем расчетную формулу индукции МП в точке А в следующем виде:

; так как .

Вычисляем величину магнитной индукции поля в точке А:

.

Задача 31. По бесконечно длинному проводнику, изогнутому так, как показано на рис. 62 а, течет ток . Радиус дуги . Определите магнитную индукцию в точке О.

Дано Решение

2 ; О 3 О 1 а б Рис. 62

Провод заданной формы разделим на три участка (рис. 62 б): длинные прямые проводники 1 и 3 и дуга 2, равная половине окружности. Индукцию , созданного проводником, состоящим из таких участков, найдем по принципу суперпозиции:

(1)

Вычислим вектор от первого участка проводника, суммируя бесконечно малые значения , создаваемые элементами тока :

, (2)

где вектор определяем по закону Био – Савара – Лапласа:

. (3)

В формуле закона (3) элемент длины первого участка провода и радиус-вектор , проведенный от элемента тока к точке О, сонаправлены, т. е. , а в этом случае векторное произведение (так как ). Следовательно, все и их сумма Отметим полученный результат: в любой точке, находящейся на продолжении прямого провода с током, индукция МП, созданная этим проводом, равна нулю.

Вычислим вектор , аналогично предыдущему расчету, суммируя бесконечно малые значения , создаваемые элементами тока :

. (4)

Для определения направления складываемых векторов применяем правило буравчика: вращая головку винта по направлению тока в полукольце, по движению винта (который будет ввинчиваться) получаем, что вектор от любого элемента тока дуги направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас». Следовательно, и вектор имеет такое же направление. Так как все векторы сонаправлены, то суммируем их модули:

. (5)

Отметим, что найденная величина (см. п. 7.1, формула (6)). Этот результат имеет простое объяснение: отсутствующая половина кольца создавала бы такое же поле , а согласно принципу суперпозиции . Следовательно, расчет верен.

Определяем вектор : его направление находим по правилу буравчика, вращая головку винта по часовой стрелке (если смотреть на начало третьего участка сверху), чтобы винт вворачивался по направлению тока (вниз). Тогда вектор , касательный к окружности, которую описывает головка винта, будет направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас». Таким образом, вектор ; складывая эти векторы, по принципу суперпозиции (1) получаем, что результирующий вектор сонаправлен с векторами , т. е. также направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас». Модуль вектора , в соответствии с уравнением (1), равен сумме модулей сонаправленных векторов:

(6)

Найдем модуль вектора . Заметим, что если мысленно продолжить участок провода 3 вверх до бесконечности, т. е. дополнить его проводом, равным участку 3, то получим бесконечно длинный прямой провод, создающий поле с магнитной индукцией

. (7)

С учетом равного вклада двух половин провода, следуя принципу суперпозиции, запишем уравнение:

(8)

Заметим, что результат (8) можно получить и из формулы магнитной индукции отрезка прямого проводника с током (п. 7.1, формула (8)):

, (9)

где – расстояние от провода до точки, в которой определяем величину : ; углы , т. е.

Подставляя найденные величины магнитной индукции второго и третьего участков провода (формулы (5) и (8)) в уравнение (6) принципа суперпозиции, получаем расчетную формулу индукции магнитного поля в точке О:

(10)

Вычисляем магнитную индукцию поля, созданного в точке О заданным проводником с током, по формуле (10), принимая для воздуха магнитную проницаемость

.