2.7.4. Магнитный поток. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

Магнитный поток – это поток вектора магнитной индукции через площадку :

Линия Рис. 55

,

где – проекция вектора на нормаль к площадке; – угол между магнитной индукцией и нормалью к площадке (рис. 55). Далее в обозначении магнитного потока индекс будет опущен, т.е. . Магнитный поток через площадь равен сумме элементарных потоков :

(20)

Для однородного поля и плоской поверхности (для нее одинакова на всей площади) формула (20) принимает следующий вид:

В случае соленоида и тороида различают 1) магнитный поток сквозь площадь одного витка (или в сечении катушки): , так как проекция на нормаль ; и 2) полный магнитный поток , сцепленный со всеми витками, или потокосцепление:

, (21)

где – число витков катушки с током.

Работа сил Ампера при перемещении проводника с током в магнитном поле, как механическая работа, равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:

а) элементарная работа ;

б) работа на конечном перемещении от точки 1 до точки 2 равна сумме элементарных работ

, (22)

где – проекция на направление перемещения силы Ампера , которая действует на проводник с током длиной в однородном магнитном поле с индукцией .

Формулы работы при движении контура с током преобразуются к следующему виду:

(23)

Здесь – ток в проводнике; – магнитный поток, соответственно, в конечном положении контура (индекс 2) и в начальном (индекс 1).

При перемещении прямого проводника с током в магнитном поле , где – магнитный поток через площадь , которую описывает проводник при движении.

Заметим, что формула (23) справедлива как в однородном, так и в неоднородном МП при любом движении контура: и поступательном, и вращательном.

2.7.5. Явление электромагнитной индукции. Индуктивность цепи. Энергия магнитного поля

Основной закон электромагнитной индукции (ЭМИ) – закон Фарадея: электродвижущая сила индукции равна скорости изменения магнитного потока сквозь площадь контура:

(24)

В каждом витке обмотки соленоида или тороида возникает ЭДС индукции, равная ; так как витки одинаковы и соединены последовательно, то ЭДС индукции, возникающая в катушке, равна сумме ЭДС витков:

, (25)

где – потокосцепление контура.

Частные случаи применения закона электромагнитной индукции (25):

1) при поступательном движении проводника длиной

, (26)

где – угол между векторами скорости проводника и магнитной индукции ;

2) при вращении рамки в однородном МП с индукцией

(27)

Здесь – число витков рамки; – площадь витка; – угловая скорость вращения; – угол поворота нормали рамки в момент времени (при вектор ).

Количество электричества , протекающее через сечение проводника сопротивлением при изменении потокосцепления , определяется формулой

, (28)

где – потокосцепления контура в начальном и конечном положениях.

Заметим, что при решении задач контрольной работы формулы (26), (27) и (28) следует выводить, исходя из основного закона ЭМИ (25).

Полный магнитный поток контура зависит от тока в этом контуре:

, (29)

где – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура. Индуктивность длинного соленоида и тороида определяется следующей формулой:

(30)

Здесь – магнитная проницаемость сердечника; – число витков катушки; и – площадь поперечного сечения и длина сердечника; – число витков на единицу длины соленоида; – объем сердечника.

ЭДС самоиндукции , возникающая в контуре при изменении в нем тока, в случае постоянной индуктивности контура , если сердечник катушки неферромагнитный) изменяется по закону:

(31)

ЭДС самоиндукции, согласно правилу Ленца, препятствует изменению тока в цепи (его снижению при размыкании цепи и увеличению – при замыкании). В результате действия ЭДС самоиндукции ток в цепи с течением времени изменяется плавно (рис. 56).

После размыкания цепи, имеющей активное сопротивление и индуктивность , ток изменяется с течением времени по следующему закону:

, (32)

где – ток в момент времени .

При замыкании: При размыкании 0 Рис. 56

Т

ок, определяемый формулой (32), является индукционным; в соответствии с законом Ома, величина этого тока в любой момент времени : ,

где ЭДС самоиндукции определяется законом ЭМИ (31).

При подключении цепи к источнику тока ЭДС самоиндукции создает индукционный ток, препятствующий нарастанию тока до значения . В результате ток в цепи устанавливается с течением времени по закону

(33)

Здесь, согласно закону Ома, ток , где – ЭДС источника тока.

Энергия магнитного поля, которое создается током в контуре с индуктивностью , вычисляется по следующей формуле:

(34)

Объемная плотность энергии однородного МП с магнитной индукцией , например, в сердечнике длинного соленоида, определяется формулой

, (35)

где – магнитная проницаемость сердечника.