Добуток відображень.

Добутком або композицією двох відображень називається відображення яке визначається формулою .

Композиція відображень є асоціативною операцією, хоча і визначена не для всіх пар відображень, але композиція відображень множини самої на себе завжди визначена.

Важливу властивість композиції подає така теорема.

Теорема. Нехай є відображеннями. Тоді .

Доведення. Нехай . Тоді маємо .

Наведемо без доведення декілька важливих теорем про відображення.

Теорема. Композиція двох бієктивних функцій є бієктивною функцією.

Теорема. Відображння має обернене відображення тоді і тільки тоді, коли це відображення бієктивне.

Приклад. Нехай функція створює відображення , а функція здійснює відображення . Знайдемо композицію відображень за допомогою цих функцій: .

За формулами

,

,

, .

З цього прикладу видно, що операція композиції відображень не комутативна.

Основні властивості відображень.

Нехай А , В . Тоді справедливі наступні властивості відображення f :

1. (повний прообраз об’єднання множин дорівнює об’єднанню повних прообразів цих множин).

2. (повний прообраз перетину множин дорівнює перетину повних прообразів цих множин).

3. (образ об’єднання множин дорівнює об’єднанню образів цих множин).

4. (образ перетину множин є підмножиною перетину образів цих множин), якщо, наприклад .

5. (різниця образів двох множин є підмножиною образу різниці цих множин).

Приклади відображень. У компьютері кожна літера, цифра або символ відображаються в унікальну 8-бітову кодову комбінацію: “F”:=01000110,.. “s”:=01110011,.. ”Ф”:=11000100,.. “я”:=11001111,.. “5”:=00110101,.. “+”:=00101011,.. “”:=00100110,.. “{“:=01111011 і т.д.

Буква	Код		Цифра	Код		Знак	код
А	01000001		1	00110001		&	00100110
B	01000010		2	00110010		+	00101011
...	...		...	...		...	...
Z	01011010		9	00111001		}	01111101

Такі відображення зручно описувати таблицями. Наприклад, всі кодові комбінації, які заміщують у комп’ютері букви, цифри і символи зручно групувати в таблиці.

Приклад. Англо-український словник встановлює відповідність між множиною англійських і українських слів. Це не сюр’єкція і не ін’єкція. І ця відповідність не є функціональною (оскільки одному англійському слову може відповідати декілька українських слів або навпаки) і не є повністю визначеною (оскільки в словнику може бути ще інше англійське слово).

Приклад. Позиція на шахівниці є взаємно однозначною відповідністю між множиною фігур, що залишилися, та множиною зайнятих ними полів.

Приклад. Азбука Морзе – це взаємно однозначна відповідність між кодами (точки–тире) та буквами. Майже всі методи кодування і шифровки побудовані на взаємно однозначній відповідності. А от кодування телефонів у Києві семизначними символами не є сюр’єктивним відображенням, оскільки існують такі набори семизначних чисел, за якими не стоять номери телефонів.

Приклад. Функція при відображенні не є повністю визначеною, оскільки для натуральних чисел число , але при відображенні є повністю визначеною