Образи і прообрази.

Як уже говорилось, при відображенні елемент може бути образом не одного, а кількох елементів . Сукупність усіх елементів , образом яких є заданий елемент , називається повним прообразом елемента і позначається символом . Якщо, наприклад, при відображенні елемент є образом елементів , то пишуть . Сукупність елементів , які є образами всіх елементів множини , називається образом цієї множини і позначається символом . Нехай , тоді сукупність всіх елементів множини , образи яких належать множині , називається повним прообразом множини і позначається символом . При цьому і відображення називають повністю визначеним. У противному разі воно називається частково визначеним.

Приклад. Функція при відображенні ( – множина натуральних чисел) не є повністю визначеною, оскільки при образ, тобто , якщо , але при відображенні є повністю визначеною.

Цей приклад підкреслює, що задати відображення означає вказати також і його область визначеності. Так, наприклад, два відображення , (де , а – множина дійсних чисел), які визначені однією формулою , є різними, оскільки різними є області їх визначення. Відображення є ін’єктивним, оскільки воно переводить точки, наприклад, інтервалу в точки цього ж інтервалу і з рівності випливає і рівність . Але відображення не є ін’єктивним, оскільки образу, наприклад, відповідає два прообрази .

Відображення і функції.

Замість терміну "відображення" часто вживають термін "функція". Тут варто зауважити, що поняття функції багатьох змінних зводиться до звичайного поняття функції. А саме, функцією змінних із значенням в називається відображення , де – декартів добуток множини .

Декілька слів про способи визначення функції. Найпростіший з них – це табличний. Його можна застосувати, якщо область визначення скінченна. В цьому разі просто перераховуються образи всіх елементів. Наприклад,

.

Більш зручний і поширений – це аналітичний спосіб, коли функція задається формулою, за допомогою якої можна обчислити значення для любого елемента із області визначеності. Наприклад, .

Відображення множини самої в себе називається також перетворенням множини. Тотожним перетворенням даної множини називається таке перетворення цієї множини, що для всіх .

Як і відображення, розрізняють і три типи функцій: сюр’єктивні, ін’єктивні і бієктивні.

Сюр’єктивною називається функція, якщо множина її значень (тобто образів) збігається з множиною визначення (тобто прообразів). Це означає, що для кожного існує принаймні одне значення . Про таку функцію говорять, що вона здійснює сюр’єкцію області на область .

Ін’єктивною називається функція, якщо з рівності випливає і рівність для всіх . Інакше можна сказати, що якщо функція ін’єктивна, то нерівність тягне за собою і нерівність . Якщо образи при відображенні за допомогою цієї функції різні, то різними будуть і прообрази.

Бієктивною називається функція, яка одночасно є ін’єктивною і сюр’єктивною.

Приклад. Визначити типи функцій при відображеннях , образи і прообрази яких схематично подані за допомогою чотирьох варіантах (A, B, C, D) (рис. 5 )

Функція варіанту A не може бути сюр’єктивною, оскільки для образу 2 нема прообразу. Вона не є ін’єктивною, оскільки образ 1 має два прообрази.

Функція варіанту B сюр’єктивна, оскільки кожному образу є прообраз. Але вона і ін’єктивна, бо різним образам відповідають і різні прообрази. Тобто функція цього варіанту є бієкцією.

Функція варіанту C сюр’єктивна, оскільки для кожного образу є прообраз. Але вона не ін’єктивна, бо образу 1 відповідають два прообрази: і .

Функція варіанту D не сюр’єктивна, оскільки для образу 2 не існує прообразу. Але вона ін’єктивна, бо різним образам 1 і 3 відповідають і різні прообрази.

Приклад. Довести, що відображення , яке здійснює функція не ін’єктивна.

Доведення. Оскільки функція переводить множину цілих чисел саму в себе, то, наприклад, для образу існує два прообрази . Отже функція не ін’єктивна. Ця функція при такому відображенні і не сюр’єктивна, оскільки для образу, наприклад, немає прообразу.

Приклад. Якого типу є функція при відображенні .

Розв’язання. Знайдемо образ для двох різних прообразів: . Отже, ця функція ін’єктивна. Покажемо, що вона і сюр’єктивна. Нехай , де . Чи існує для цього довільного образу прообраз? Дійсно існує: . Таким чином, це бієктивна функція.

Приклад. Нехай функція здійснює відображення , де . Дослідити це відображення і знайти обернене, якщо воно існує.

Розглянемо два різних числа , визначимо прообрази цієї функції в цій же множині і подивимось, чи будуть вони рівні і за якої умови:

.

Отже, ця функція є ін’єктивною. Подивимось, чи не є вона сюр’єктивною. Для цього візьмемо довільний елемент з області значень функції і знайдемо відповідний йому прообраз: . Це свідчить про сюр’єктивність функції, а отже ця функція є бієктивною і тому існує обернене відображення.: . Ця функція обернена сама до себе.