5.Расстояние от точки до плоскости.

Определение. Расстоянием от точки М до плоскости α является длина перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость α.

Рис.12

Теорема V. Расстояние от точки М₀( x₀ ; y₀ ;z₀ ) до плоскости α, заданной уравнением общего вида : α: Ах+Ву+Сz+D=0, вычисляется по

формуле : .

Доказательство.

Пусть в прямоугольной системе координат задана плоскость α: Ах+Ву+Сz+D=0 и т. М₀(x₀; y₀; z₀), не лежащая в этой плоскости. Вычислим расстояние от точки М_о до плоскости α. Заметим ,что => || , где точка Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки М₀ на плоскость α, координаты которой Н( x_H; y_H; z_H ).(Рис.12)

Тогда .

Откуда следует, что ρ(М₀,α) = ǀНМǀ= ǀ( , )ǀ/ǀ ǀ. Учитывая, что( , )= А(x_H-x₀) +B(y_H-y₀)+C(z_H-z₀); и так как точка Н лежит в плоскости α, то есть Ах_Н + Ву_Н + Сz_Н + D=0, получаем:

(13)

6.Угол между плоскостями

Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β уравнениями общего

в

φ

М

ɤ

β

α

ℓ

β

p

ида: α: А₁ х+В₁ у+С₁ z+D₁ =0 и β: А₂ х+В₂ у+С₂ z+D₂ =0. Эти плоскости образуют четыре двугранных угла.

Рис.13

Измерением двугранного угла, образованного плоскостями α и β является линейный угол, который строят следующим образом.

На прямой ℓ выбирается произвольная точка М, через которую проводят плоскость ɤ перпендикулярно прямой ℓ. Прямые m = α∩ɤ и p=β∩ɤ образуют угол φ, который и является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями α и β .(рис. 13)

Очевидно, что угол φ равен углу между векторами нормалей и этих плоскостей. =>

(14)

Следствие. Плоскости α и β перпендикулярны <=>

(15)

Лекция №4

§4.Прямая в пространстве.

1.Различные уравнения прямой в пространстве.

а). Уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором.

Определение. Направляющим вектором прямой называется любой вектор параллельный этой прямой.

Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, которые коллинеарны между собой. Пусть в пространстве дана точка М₀ и вектор . Через точку М₀ в пространстве так же как и на плоскости можно провести единственную прямую. Составим уравнение этой прямой.

Дано:

R=(О, ).

ǀǀ ℓ

М₀(x₀;y₀;z₀) ℓ .

Cоставить уравнение ℓ. Рис.14

Решение.

Возьмём произвольную точку М(x;y;z), принадлежащую прямой ℓ.

Очевидно, что М₀(x₀;y₀;z₀) ℓ <=> . Если векторы коллинеарны, то координаты этих векторов пропорциональны . Таким образом:

(16)

(16) ─ уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором. В записи этих уравнений содержится два знака равенства, поэтому это не одно уравнение, а краткая запись системы двух уравнений :

.

В этих уравнениях x₀, y₀,z₀ ─ координаты данной точки М₀, принадлежащей прямой, р₁, р₂, р₃ ─ координаты направляющего вектора прямой, а x, y и z ─ координаты текущей (любой точки) прямой. Уравнения (16) называют каноническими уравнениями прямой ℓ.

Если одна из координат направляющего вектора равна 0, например =0, то уравнения прямой принимают вид:

.

Если , то уравнения прямой принимают вид .

В этом случае прямая ℓ || (Ох) (если хотя одно из чисел y₀, z₀ не рано 0) или ℓ = (Ох) ,если .

б) Параметрические уравнения прямой.

Пусть в аффинной системе координат прямая ℓ задана точкой М₀(x₀;y₀;z₀) и направляющим вектором . В этом случае векторы и коллинеарны. Отсюда следует что существует такое число t, что . Таким образом,

=> (17)

Эти равенства (17) называются параметрическими уравнениями прямой. Здесь t ─ параметр. Его смысл заключается в том, что для любого действительно числа t точка с координатами (х,у,z), удовлетворяющая условиям (17) лежит на прямой ℓ. Обратно, если (х,у,z) – точка прямой ℓ, то всегда найдется такое число t, что х, у и z выражаются через х₀, у₀ и z₀, р₁, р₂ и р₃ при помощи равенств (17).