В).Уравнение плоскости заданной тремя точками.

Согласно аксиомам геометрии через любые три точки пространства проходит единственная плоскость. Получим уравнение плоскости проходящей через три точки М₁(x₁;y₁;z₁), М₂(x₂;y₂;z₂), М₃(x₃;y₃;z₃).

Рис.12

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением (11), считая , что

, и

.

В этом случае уравнение плоскости σ, проходящей через точки М₁(x₁;y₁;z₁), М₂(x₂;y₂;z₂), М₃(x₃;y₃;z₃), запишется в виде :

(12)

Соотношение (12) это уравнение относительно неизвестных x, y и z, которые являются координатами любой точки М(x;у;z) плоскости σ, его называют уравнением плоскости, проходящей через три точки .

Лекция №3

§3.Общее уравнение плоскости.

1. Плоскость, как поверхность первого порядка.

Определение. Поверхность называется поверхностбю первого порядка, если её уравнение содержит переменные в первой степени.

Теорема II. Любая плоскость в некоторой системе координат определяется уравнением первого порядка Ах+Ву+Сz+D=0.

И наоборот любое уравнение первого порядка Ах+Ву+Сz+D=0 в некоторой системе координат задаёт в пространстве плоскость.

Доказательство.

1. Пусть в пространстве дана плоскость α. Введём в пространстве систему координат. Тогда, в зависимости от способа задания плоскости её уравнением будет одно из следующих:

Каждое из этих уравнений является уравнением первого порядка, которое легко приводится к виду Ax+By+Cz+D=0 .Ч.т.д.

2. Пусть в пространстве в некоторой системе координат уравнение Ax+By+Cz+D=0. Выясним, какая фигура Φ определяется этим уравнением.

Возьмём точку М₀(-D/A; 0;0) и два вектора и . Составим уравнение плоскости α, заданной точкой М₀ и двумя

параллельными ей векторами : и .

Раскрыв определитель, получим Ах+Ву+Сz=0.

Очевидно, что всякая точка, принадлежащая фигуре Φ имеет координаты, удовлетворяющие уравнению Ах+Ву+Сz=0. С другой стороны, Любая точка, принадлежащая плоскости α, имеет координаты, удовлетворяющие тому же уравнению, => фигура Φ является плоскостью α.

Теорема доказана.

Следствие 1. Коэффициенты А, В и С в уравнении плоскости имеют простой геометрический смысл. Они определяют координаты векторов и ,параллельных плоскости.

Следствие 2. Коэффициенты А, В и С в уравнении плоскости имеют простой геометрический смысл. Они определяют координаты нормального вектора плоскости .

В самом деле. =>

=>

Это означает, что перпендикулярен плоскости Ax+By+Cz+D=0.

2.Расположение плоскости относительно системы координат.

Напомним, что если аффинной системе координат задана плоскость α уравнением Ax+By+Cz+D=0 и вектор , то для того, чтобы вектор был параллелен плоскости α, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (7) .

Рассмотрим частные случаи расположения плоскости α.

1. Пусть D=0. В этом случае координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α Ах+Ву+Сz=0. => плоскость проходит через начало координат.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
D=0	Аx+By+Cz=0	О (0;0;0) α

2. Пусть А=0, В≠0, С≠0 D≠0. Уравнение плоскости α будет иметь вид By+Cz+D=0. По теореме о параллельности вектора и плоскости, вектор

‖ (Ох) => α ‖ (Ох).

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0	By+Cz+D=0 ‖ α	α ‖ (Ох)

3. Пусть А≠0, В=0, С≠0, D≠0. Уравнение плоскости имеет Ах+Сz+ D =0.

В этом случае || α, поэтому α || Оу.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
B=0	Аx+Cz+D=0 ‖ α	α ‖ (Оy)

4. А≠0, В≠0, С=0, D≠0. Уравнение плоскости имеет вид Ах+Ву+D=0. В этом случае || α, поэтому α || Оz.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
C=0	Аx+By+D=0 ‖ α	α ‖ (Оz)

5. Пусть А=0, В≠0, С≠0 D=0. Уравнение плоскости имеет вид By+Cz=0 В этом случае координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α Ву+Сz=0 и вектор параллелен плоскости α. => Плоскость проходит через начало координат и параллельна оси Ох. => Плоскость проходит через ось Ох.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0,D=0	Аx+By=0 О(0;0;0) α ‖ α	(Ох) α	х

6. Пусть А≠0, В=0, С≠0, D=0. Уравнение плоскости имеет Ах+Сz =0. В этом случае координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α Ах+Сz=0 и вектор параллелен плоскости α. => Плоскость проходит через начало координат и параллельна оси Оу. => Плоскость проходит через ось Оу.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
B=0,D=0	Ax+Cz=0 О(0;0;0) α ‖ α	(Оy) α

7. Пусть А≠0, В≠0, С=0, D=0. Уравнение плоскости имеет вид Ах+Ву=0. В этом случае координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α Ах+Ву=0 и вектор параллелен плоскости α. => Плоскость проходит через начало координат и параллельна оси Оz. => Плоскость проходит через ось Оz.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
C=0,D=0	Аx+By=0 О(0;0;0) α ‖ α	(Оz) α	х

8) Пусть А=0, В=0, С≠0 D≠0. Уравнение имеет Сz+D=0,тогда векторы и параллельны плоскости α => плоскость α |параллельна плоскости Оху. Если D≠0, то уравнение можно привести к виду z =N, где N≠0.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0,B=0	Cz+D=0 ‖ α ‖ α	α ‖ (xОy)	у о х

9) Пусть А=0, В≠0, С=0 D≠0. Уравнение имеет ,тогда векторы и параллельны плоскости α. => α || (уОz). Если D≠0, то уравнение можно привести к виду у = N, N≠0.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Ч z ертёж
A=0,С=0	Ву+D=0 ‖ α ‖ α	α ‖ (xОz)

10) Пусть А≠0, В=0, С=0 D ≠ 0. Уравнение имеет Ax +D = 0, тогда векторы и параллельны плоскости α => плоскость α || (Охz ). Если D≠0, то уравнение можно привести к виду x = N, N≠0.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0,B=0	Cz+D=0 ‖ α ‖ α	α ‖ (xОy)

11) Пусть А≠0, В=0, С=0 D=0. Уравнение имеет Ах=0. В этом случае координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α Ах=0 => О ϵ ɑ , так как В=0 и С=0 => α = Оуz .

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
B=0,C=0, D=0	Аx=0 => x=0 О(0;0;0) α ‖ α ‖ α	α = (yОz)

12) Пусть А=0, В=0, С≠0 D = 0. Уравнение имеет Сz=0, тогда векторы и параллельны плоскости α и координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α => плоскость α = ( Оху ).

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0,B=0,D=0	Cz=0 => z=0 О(0;0;0) α ‖ α ‖ α	α = (xОy)

13) Пусть А≠0, В=0, С=0 D = 0. Уравнение имеет Ax=0, тогда векторы и параллельны плоскости α и координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α => плоскость α = ( Охz ).

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0,C=0, D=0	By=0 => y=0 О(0;0;0) α ‖ α ‖ α	α = (xОz)	х