3. Вычисление координат вектора по координатам точек начала и конца.

Задача. В аффинной системе координат дан вектор , для которого известны координаты точек начала и конца. Вычислить координаты вектора.

Дано: R=(О, ).

А(x_A;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B)

Вычислить:

Координаты

Рис.4

Решение

Введём в рассмотрение радиус−векторы и точек А и В. Тогда

. По определению координат точки = { x_A;y_A;z_A} и

= { x_B;y_B;z_B }. Учитывая следствие из теоремы о координатах разности

= {xB−xA; yB− yA; zB− zA}

(2) векторов, получаем:

Вывод: Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора.

4. Формула вычисления расстояния между двумя точками.

Задача вычисления расстояния между двумя точками является метрической задачей. Метрические задачи, как правило, решают в

прямоугольной системе координат.

Задача. В прямоугольной системе координат даны точки А и В своими координатами. Вычислить расстояние между этими точками.

Д ано:

R= (O, )

А(x_A;y_A;z_A)

B(x_B;y_B;z_B)

Вычислить: │АВ│ Рис.5

Решение.

Заметим, что │ АВ │=│ │. Так как модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат вектора, учитывая, что = ={x_B−x_A; y_B− y_A; z_B− z_A}, получаем:

(3)

4. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть дана прямая ℓ и точки А, В и С принадлежащие прямой ℓ.

Определение. Отношением, в котором точка С делит отрезок АВ называется число . Обозначение λ_С=(АВ,С).

Заметим, что в векторной алгебре не определяется операция деления вектора на вектор. Приведённая выше запись имеет смысл только для коллинеарных векторов. В данном случае это выполняется, так как точки А В и С лежат на одной прямой.

Рис.6

Число λ может принимать как положительные так и отрицательные значения. Так, на рис. 4 а) векторы и сонаправлены и, поэтому,

λ > 0; то есть точка С лежит на отрезке АВ. В случае, приведённом на рис.4б), и противоположно направлены и, следовательно, λ < 0, а точка С лежит вне отрезка АВ. Число λ не может принимать значение равное − 1, так как в этом случае = − => = => А = В, что означает отрезов вырождается в точку.

З адача. В аффинной системе координат даны точки А и В своими координатами и известно отношение, в котором точка С делит отрезок АВ. Вычислить координаты точки С.

Д

ано: R=(О, ).

А(x_A;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B)

(АВ,С) = λ_С

Найти координаты т. С.

Решение

По определению => = λ_С* . Так как

и то => .

Векторы − радиус-векторы точек А, В, и С поэтому

.

По теореме о координатах линейной комбинации векторов имеем:

,

(4)

Следствие. Если точка С является серединой отрезка АВ, то λ_С = 1. => Середина отрезка имеет координаты

, , .

(5)