ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Учебно-методическое пособие

для студентов дневного и заочного отделений

физико-математического факультета

Воронеж 2011

УДК 513 (075.8)

Составитель:

Кандидат физико-математических наук, доцент Н.А. Заварзина

Учебно-методическое пособие для студентов дневного и заочного отделений физико-математического факультета /сост.: Заварзина Н.А.−

Воронежский госпедуниверситет, 2011− 55с.

Учебно-методическое пособие представляет собой курс лекций и практических занятий по теме « Метод координат в пространстве ».

Пособие состоит из трёх частей. Первая часть содержит общие сведения о преобразованиях плоскости. Во второй части подробно излагается теоретический материал о движениях плоскости и основные свойства частных видов движений. Третья часть пособия содержит практический материал, в котором содержатся задания для определения степени усвоения теоретического материала, решение конкретных задач на доказательство с применением основных свойств движений плоскости и задачи для самостоятельного решения.

Предназначается для студентов дневного и заочного отделений физико-математического факультета Воронежского госпедуниверситета.

© Заварзина Н.А., составление, 2011

Содержание

§1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве……. 4

1 Аффинная система координат в пространстве.……...………………….. 4

2 Координаты точки в пространстве………….. ..………………………. 6

3 Вычисление координат вектора по координатам точек начала и конца..8

1.4 Группа преобразований………………………………………………... 9

§2. Движение плоскости…………………………………………………. 10

2.1 Определение движения плоскости……………………………………. 10

2.2 Теорема о существовании движения плоскости……………………… 10

2.3 Два вида движений. Аналитическое задание движения…………….... 11

2.4 Частные виды движения плоскости………………………………….. 12

§3. Классификация движений…………………………………………… 22

3.1 Теоремы о неподвижных точках и неподвижных прямых

при движении……………………………………………………………. 22

3.2 Классификация движений первого рода………………………………..24

3.3 Классификация движений второго рода………………………………. 25

§4. Группа движений плоскости и её подгруппы………………………….27

§5. Система заданий, контролирующих усвоение теоретического

материала……………………………………………………………….. 29

0. 5.1Задания для определения вида преобразования плоскости по его

свойствам…………………………………………………………………29

0. 5.2Задачи на выделение элементов, определяющих движение

плоскости…………………………………………………………………32

§6.Применение преобразований плоскости к решению задач на

доказательство…………………………………………………………….44

Литература………………………………………………………………………58

Метод координат в пространстве

Лекция №1

§1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве.

1. Аффинная система координат в пространстве.

Определение. Аффинным репером в пространстве называют упорядоченную четвёрку точек О, А₁, А₂, А₃ пространства, не лежащих в одной плоскости, и никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Если в пространстве задан аффинный репер R={ О, А₁, А₂, А₃} , то говорят что в пространстве задана аффинная система координат.

Рис. 1.

Точка О называется началом системы координат. Векторы , образующие некомпланарную систему векторов являются базисом пространства V₃ и называются базисными векторами данной системы координат или базисом данного репера R={ О, А₁, А₂, А₃}. Таким образом, репер R={ О, А₁, А₂, А₃}, можно задавать точкой О и базисными векторами . В этом случае аффинная система координат в пространстве обозначается R=(О ). Векторы называют координатными или базисными векторами аффинной системы координат ( -первый координатный вектор, - второй, - третий). Направленные прямые, проходящие через начало координат и параллельные координатным векторам, на которых положительные направления определяются этими векторами, называются координатными осями. Оси, параллельные векторам , называются соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат и обозначаются так: . Плоскости, определяемые осями Ох и Оу, Ох и Оz, Oy и Oz называют координатными плоскостями и обозначают соответственно через Оху или xOy, Охz или xOz, и Оуz или yOz. Иногда систему координат О обозначают через Охуz. На каждой из координатных плоскостей задан аффинный репер: (xOy) → R=(О ); (xOz) → R=(О ); (yOz ) → R=(О ).

Если ; ; и │ │=│ │=│ │= 1, то репер называют прямоугольным, а систему координат называют прямоугольной или декартовой системой координат и обозначают R = ( O,i ,j ,k), где │ i │=│ j│ =│ k │=1.

2. Координаты точки в пространстве.

Пусть в пространстве введена аффинная система координат − ( О ),

а М – произвольная точка пространства. Вектор называется

радиус-вектором точки М. (Рис. 2)

Система векторов , является линейно зависимой. Это означает, что вектор можно представить в виде: . (1)

Рис. 2

Определение. Коэффициенты x ,y ,z в разложении вектора по векторам базиса данной системы координат называются координатами точки М в системе координат R= (О ).

Число х называется абсциссой точки М, у – ординатой, а z – аппликатой точки М. Записывается это следующим образом: М(x,y,z). Другими словами, координатами точки М в системе (О ) называются координаты её радиус −вектора в базисе данного репера R=(О, ).

Если аппликата z точки М равна нулю, то из равенства (1) получаем:

= x + y .

Векторы , , линейно зависимы, поэтому они компланарны. Это означает, что точка М лежит в плоскости Оху. Из предыдущего равенства следует, что в плоскости (Оху) т. М в системе координат (О ) имеет две координаты М(х,у), а в системе координат (О ) эта точка имеет координаты М(x,y,0). Аналогично, если у=0, то М (Оxz) и в системе координат (О ) она имеет координаты М(x,0,z), если х=0, то М (Оxz) => M(0,y,z). Отсюда следует, что если точка М принадлежит оси абсцисс, то у=z=0 то есть в системе координат (О ) она имеет координаты М(x,0,0), для любой точки оси ординат x=z=0 системе координат (О ) она имеет координаты М(0,у,0), а для любой точки оси аппликат x=y=0 системе координат (О ) она имеет координаты М(0,0,z).

Для построения т. М(x,y,z) по её координатам в системе О воспользуемся формулой (1). От начала координат О отложим вектор = =x , затем от т.М₁ отложим вектор и от точки М₂ отложим (рис.3)

Рис.3

По правилу многоугольника = x + y + z . Таким образом, М – искомая точка. Ломаную называют координатной ломанной т. М. Итак, для построения точки М достаточно построить её координатную ломанную. Каждое звено имеет длину соответствующей координаты, если единицей измерения есть длина соответствующего базисного вектора.