Питання для самоконтролю

1. Пояснити, чим відрізняються початкові задачі Коші від крайових задач. Вказати приклади, як виникають задачі Коші в БМК.

2. Записати канонічні форми диференціальних рівнянь (ДР) для задач механіки у тому числі й БМК та для задач обчислювальної математики.

3. Показати, як для ДР другого порядку можна отримати еквівалентне інтегральне рівняння.

4. Вказати можливі типи функціоналів, які можуть бути асоційовані з формулюванням задач Коші в БМК та яку обов’язкову властивість повинні мати такі функціонали.

5. Пояснити та зобразити графічно схему дискретизації змінної у початкових задачах та вказати можливі види дискретизації незалежної змінної задачі.

6. Вказати, що приймається за основні невідомі після дискретизації у задачах Коші.

7. Пояснити сутність чисельного методу Ейлера для розв’язання початкових задач. Вказати основний недолік методу, що обмежує його застосування.

8. Навести схему класифікації чисельних методів для задач Коші та пояснити сутність методів у схемі.

9. Записати алгоритм чисельного методу Неймарка для диференціального рівняння другого порядку, вказати базову ідею методу, чому він належить до множини багато етапних методів та пояснити як він працює.

10. Записати алгоритм чисельного методу Рунге-Кутта для диференціального рівняння другого порядку, вказати базову ідею методу, чому він належить до множини багато етапних методів та пояснити як він працює.

11. Записати алгоритм чисельного методу Адамса-Бешфорта для інтегральної форми рівняння другого порядку, вказати базову ідею методу, чому він належить до множини багато крокових методів та пояснити як він працює.

12. Вказати, які обмеження накладаються на метод Адамса-Бешфорта та як практично відбувається його застосування.

13. Пояснити сутність варіаційного методу Куявського-Галагера та як він застосовується.

14. Вказати при яких умовах можливе застосування методів малого параметру для розв’язання задач Коші та вказати форму розв’язку.

15. Пояснити на прикладі схему методу послідовних наближень як неявної форми асимптотичних методів.

16. Пояснити на прикладі схему методу малого параметру як явної форми асимптотичних методів.

17. Вказати та зобразити графічно можливі типи збіжності асимптотичних рядів у методах малого параметру.

Висновки

Міцність корпусу судна та його конструкцій в умовах експлуатації у морі є важливою та відповідальною їх якістю і тому розрахункам міцності слід приділяти великої уваги при проектуванні суден. Послідовність розрахунків міцності, головним чином визначення напружень, від надмірних значень яких власне й руйнуються конструкції, природним чином поділяється на наступні етапи: 1) розробки фізичних моделей (створення розрахункових схем), 2) розробки відповідних їм математичних моделей (формулювання крайових, початкових чи початково-крайових задач БМК), 3) розв’язання задач із залученням чи розробкою тих чи інших математичних методів та, нарешті, 4) аналізу отриманих результатів розрахунків та формулювання висновків щодо рівнів міцності даних конструкцій.

На третьому та четвертому курсах навчання студентів кораблебудівного факультету основна увага була зосереджена головним чином на першому, другому та четвертому етапах розрахунків міцності, і тому даний курс присвячено спеціально третьому етапу - математичним методам БМК, як інструменту для розв’язання відповідних задач. Ці методи природним чином можна поділити на точні та наближені, а останні - також на аналітичні та чисельні. Нажаль, точні методи придатні тільки для розв’язання відносно простих формулювань задач БМК і тому основний арсенал обчислювальних методів складають як раз наближені методи.

Історично десь до початку другої половини 20-го століття значного розвитку досягли наближені аналітичні методи механіки взагалі та БМК зокрема, але з появою обчислювальної техніки та подальшим її практичним застосуванням у розрахункам почався потужний розвиток наближених чисельних методів, побудованих на ідеях дискретизації. Останні загалом дають змогу отримати більш точні чисельні результати та мають значно менше обмежень при практичних застосуваннях. На даний час найбільш ефективні обчислювальні методи, а для механіки пружного тіла це метод скінченних елементів, реалізовані у вигляді потужних пакетів програм (програмних комплексів типу ANSYS, SolidWorks, FlowVision тощо). У даних пакетах закладено певні множини розрахункових схем, способи їх дискретизації та алгоритми подальших обчислень.

У першому наближені даними пакетами програм можна користуватися приблизно як користуються побутовою технікою, тобто оволодівши тільки навичками роботи з меню програм, за допомогою яких визначаються типи розрахункових схем, способи їх дискретизації та вводяться вихідні дані задачі. Але значно більш ефективним буде їх використання при розумінні теоретичних основ, на яких ґрунтуються задіяні у даних комплексах обчислювальні методи та процедури. Особливо це важливо при аналізі та інтерпретації досить великих масивів інформації, які надають ці комплекси у результатах обчислень. Тому даний курс з обчислювальних методів також зорієнтовано на надання можливості отримати первинну інформацію щодо сутності найбільш поширених чисельних методів. Крім того, бурхливий розвиток дискретних чисельних методів загалом не принижує можливості наближених аналітичних методів, оскільки останні дають змогу досить швидко отримати наближені оцінки для результатів розв’язку задачі, якими інколи можна й обмежитися. Дані оцінки також можуть бути корисними й при аналізі результатів, отриманих при застосуванні обчислювальних комплексів.

На завершення звернемо ще увагу на те, що потужний арсенал наближених обчислювальних методів було розроблено, по-перше, через те, що не можна розробити один універсальний метод для розв’язання усієї множини практичних задач і кожний клас задач потребує свого специфічного методу розв’язання. Та, по-друге, обчислювальні алгоритми у першу чергу характеризуються такими якостями як точність, стійкість та ефективність обчислень і намагання підвищити рівень цих якостей також стимулюють розробку нових методів, узагальнення чи модифікації вже існуючих.