МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Національний університет кораблебудування

імені адмірала Макарова

А. М. Сердюченко, ю.П. Кочанов навчально-методичні вказівки до виконання розрахунково-графічних робіт з дисципліни «математичні моделі та чисельні методи бмк та мпс»

Рекомендовано Методичною радою НУК

Електронне видання

комбінованого використання на DVD-ROM

Миколаїв  НУК  2013

УДК 005.915 (0.76)

ББК 65.050

П 18

Укладачі:

А.М. Сердюченко, доктор фіз.-мат. наук, професор;

Ю.П. Кочанов, доктор техн. наук, професор

Рецензент Л.І. Коростильов, доктор техн. наук, професор

Сердюченко А.М.

П 18 Навчально-методичні вказівки до виконання розрахунково-графічних робіт з дисципліни "Математичні моделі та чисельні методи БМК та МПС" / А. М. Сердюченко, Ю. П. Кочанов. – Миколаїв : НУК, 2013. – 54 c.

Навчально-методичні вказівки у стислій формі містять основні відомості про математичні моделі та обчислювальні методи для розв’язання крайових та початкових задач БМК, а також матеріали, які пов’язані з підготовкою, методикою виконання та оформленням розрахунково-графічних робіт студентами п’ятого курсу кораблебудівного інституту: конспективна теоретична підготовка, вибір типу та вихідних даних для розрахункової схеми, методика проведення обчислень, порядок графічного оформлення результатів. Викладені матеріали ґрунтуються на вимогах Міністерства освіти і науки України та стандартів ІЕФ НУК щодо курсових та розрахунково-графічних робіт.

Навчально-методичні вказівки призначені для студентів денної та заочної форми навчання зі спеціальності 8.03050401 «Суднобудування», а також можуть бути використані студентами інших спеціальностей, аспірантами та викладачами ВНЗ четвертого рівня акредитації, у тому числі у системі перепідготовки та підвищення кваліфікації.

© Сердюченко А. М., Кочанов Ю. П., 2013

© Національний університет кораблебудування імені адмірала Макарова, 2013

ВСТУП

Навчально-методичні вказівки призначено для загальної теоретичної підковки та використання при виконанні розрахунково-графічних робіт з дисципліни «Математичні моделі та чисельні методи БМК» на п’ятому курсі кораблебудівного факультету. Вказівки містять стислі теоретичні відомості щодо наближених аналітичних та чисельних методів для розв’язання крайових та початкових задач БМК та методичні рекомендації щодо практичного виконання розрахунків у розрахунково-графічних роботах.

Для чисельних розрахунків фізичних моделей суднових конструкцій - балок (стержнів), стержневих систем (багато прогонних балок, рам, перекриттів), пластин та оболонок останні повинні бути описані відповідними математичними моделями у формі крайових задач, початкових задач та початково-крайових задач будівельної механіки корабля (БМК).

Крайові задачі БМК містять рівняння деформування фізичної моделі (розрахункової схеми) та граничні умови у крайніх точках розрахункової схеми (кінцях балок, сторонах пластин тощо). Крайові задачі можуть бути одновимірними (для балок), двовимірними (для пластин та оболонок) та тривимірними (для масивних пружних тіл). Одновимірні статичні крайові задачі та початкові задачі містять звичайні диференціальні рівняння, тоді як усі інші – диференціальні рівняння у частинних похідних.

Початкові задачі БМК (або, іншими словами, задачі Коші) формулюються для динамічних задач, які у якості основної незалежної координати містять час. Тому в таких задачах рівняння руху доповнюється початковими умовами для переміщень та швидкостей руху розрахункової динамічної системи у початковий момент часу. За звичай задачі Коші описуються звичайними диференціальними рівняннями другого порядку за часовою координатою. Такі рівняння в БМК утворюються, зокрема, при застосуванні тих чи інших методів при розв’язанні початково-крайових задач для розрахункових схем.

Початково-крайові задачі БМК формулюються для динамічних задач про коливання пружних систем і тому рівняння динамічного пружного деформування повинно доповнюватися як граничними мовами, так і початковими умовами. Класичним прикладом є задача про коливання пружної балки при дії гармонічної збуджуючої сили.

Зрозуміло, що для розв’язання задач БМК потрібно застосування тих чи інших математичних методів із арсеналу обчислювальної математики. Таких методів було напрацьовано достатньо багато і тому розпочнемо з певної класифікації методів. Для класифікації, по-перше, потрібно вибирати певні ознаки та, по-друге, кожна класифікація є до певної міри відносною і загалом вони можуть бути різними. Якщо у якості ознак прийняти точність розв’язку, то у першу чергу усі методи можна розділити на дві множини:

1) точні методи, які дають точні (замкнені) розв’язки задач у термінах елементарних аналітичних функцій, квадратур тощо, хоч самі задачі у більшості випадків можуть бути сформульовані наближено;

2) наближені методи, які дають тільки певні наближені значення для розв’язків задач і які використовують чи спеціально розробляють, коли задачу не можливо розв’язати точно. Точні методи загалом придатні тільки для відносно простих постановок задач БМК і тому більшість розроблених методів є наближеними.

Далі наближені методи за їх характером також можна розділити на дві великі множини:

1) аналітичні методи, для яких характерним є те, що основний обсяг роботи у розв’язанні задачі пов'язаний з аналітичними операціями, перетвореннями тощо, а обчислення виконуються тільки для отримання чисельних значень величин на завершальному етапі розв’язання задачі;

2) чисельні (дискретні) методи, для яких зворотно характерним є те, що основний обсяг роботи у розв’язанні задачі пов'язаний із застосуванням чисельних операцій, процедур тощо на основі дискретизації (подрібнення) розрахункової схеми, а аналітична частина розв’язку відіграє тільки допоміжну роль на початкових етапі розв’язання задачі. Крім того, сучасні чисельні методи пов’язані із опрацюванням величезних масивів дискретних величин та застосуванням достатньо потужної обчислювальної техніки.

Наближені аналітичні та чисельні далі також можна поділити на певні групи. Наприклад, наближені аналітичні методи включають три основні групи:

1. прямі диференціальні методи, у яких працюють безпосередньо з вихідними диференціальними рівняннями задачі;

2. варіаційні методи, у яких для розв’язання задачі використовують варіації певних функціоналів, тим чи іншими чином пов’язаних з даною задачею;

3. асимптотичні методи, іншими словами методи теорії збурень, методи малого параметру, у яких суттєвим є застосовування рядів за малими параметрами задачі та які дають асимптотичні наближення для розв’язків задачі.

Наближені чисельні методи включають наступні найбільш поширені методи:

1. метод скінченних елементів, який ґрунтується на дискретизації (розділенні) на відносно невеликі частинки – скінченні елементи – розрахункової схеми пружної конструкції;

2. метод скінченних різниць, який ґрунтується на дискретизації на відносно малі під області загальної координатної області, яку займає розрахункова схема конструкція (під інтервали для балок, плоскі під області для пластин тощо);

3. метод граничних елементів, який ґрунтується на дискретизації тільки границі дво- чи тривимірної області, яку займає розрахункова схема конструкція, що дає змогу значно зменшити число точок дискретизації та відповідно й обсяг невідомих у задачі.

Існують також деякі інші дискретні методи, у тому числі і як модифіковані варіанти вказаних вище методів, зокрема, в БМК можна вказати на метод модуль-елементів, метод супер-елементів [2, 9].

Потужну множину методів складають також і чисельні методи для розв’язання початкових задач Коші, і деякі характерні та найбільш поширені приклади таких методів буде розглянуто у останньому розділі посібника.

Більшість методів у посібнику буде розглянуто стисло тільки в частині сутності методу, але точний аналітичний метод розділення змінних та наближені чисельні методи скінченних різниць та скінченних елементів розглядатимуться детально, оскільки вони повинні бути використані студентами при виконані відповідних РГР.

На завершення зазначимо ще, що обчислювальна математика продовжує динамічно розвиватися, оскільки досягнення високих показників для таких якостей обчислювальних методів, як точність, стійкість та ефективність алгоритмів стимулює подальшу розробку нових методів та удосконалення чи узагальнення вже існуючих. Крім того підкреслимо, що не існує універсальних методів для розв’язання будь яких задач, практично кожний з методів обмежений певною множиною задач і загалом поряд з позитивними сторонами має також і певні негативні сторони, які й обмежують його якості та область застосування.