
- •Алгебра логики
- •Поразрядные операции
- •Основные законы алгебры логики
- •Т ождества
- •Правила поглощения и склеивания
- •Переход от табличной формы функции алгебры логики к аналитической Запись функции по единицам
- •Запись функции по нулям
- •Логические функции от двух аргументов
- •Стрелка Пирса
- •Функция следования (импликация от a к b)
- •Функция эквивалентность
- •Штрих Шеффера
- •Приоритет основных логических операций
- •Минимизация функций алгебры логики с помощью карт Карно
- •Правило записи функции по карте Карно по единицам
- •Запись функции по нулям
- •Правило записи функции по карте Карно по нулям
Функция следования (импликация от a к b)
A |
B |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Импликация соответствует высказыванию “если … , то…” Эта функция принимает значение ложь, только когда из истины следует ложь.
Ч
ерез
основные операции эта функция может
быть записана как
(см.
правило записи функции по нулям).
Графическое обозначение логической схемы, осуществляющей эту операцию:
(Кружочек на левой границе означает инверсию сигнала)
Функция эквивалентность
A |
B |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Эквивалентность соответствует высказыванию “… тогда и только тогда, когда”. Эта функция принимает значение истина, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.
Через основные операции эта функция
может быть записана как
Г
рафическое
обозначение логической схемы,
осуществляющей эту операцию:
Штрих Шеффера
A |
B |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Запись этой функции по нулям дает
.
Графическое
обозначение логической схемы,
осуществляющей эту операцию:
Приоритет основных логических операций
Инверсия (унарная)
Конъюнкция (умножение)
Дизъюнкция (логическое сложение)
Сложение по модулю 2 (исключающеее ИЛИ)
Импликация (следование)
Эквивалентность.
Задачи
1) Для каких значений
переменных функция
принимает
значение “ложь” ?
Решение
Логическая сумма принимает ложное значение только в одном случае, когда оба слагаемых равны 0.
Первое слагаемое:
равно
0 только если A=1 и
=
0, следовательно: A=1,
B=1.
Второе слагаемое
при A=1 может быть равно 0
только, если С=0.
Ответ: A=1, B=1, C=0.
2) Имеются две аудитории, в каждой из них должны проходить либо занятия по физике, либо по информатике.
Имеются два высказывания:
в одной из аудиторий проходят занятия по информатике
занятия по физике проходят в первой аудитории
Известно, что эти высказывания могут быть либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.
Определить, в какой аудитории проходят занятия по информатике и в какой – по физике.
Решение
Для решения задачи необходимо перевести условие задачи на язык алгебры логики, т.е. определить переменные, соответствующие высказываниям (причем их количество должно быть минимальным) и связать эти переменные соответствующими логическими операциями.
Обозначим:
в первой аудитории проходят занятия по информатике,
во второй аудитории проходят занятия по информатике.
Поскольку в каждой аудитории обязательно должны проходить занятия либо по физике, либо по информатике, отрицаниям этих высказываний будут соответствовать:
- в первой аудитории проходят занятия по физике,
- во второй аудитории проходят занятия по физике.
Тогда первое высказывание соответствует логическому выражению:
Второе высказывание:
.
Поскольку высказывания должны быть
одновременно истинны либо одновременно
ложно, значит функция эквивалентности
этих высказываний должна быть истинна:
.
Для решения этого уравнения выразим функцию эквивалентности через базовые логические функции:
Подставим вместо X и Y соответствующие логические выражения:
Упростим выражения:
Произведение равно 1 только, если каждый из сомножителей = 1.
Следовательно: B=1 и =1.
Ответ: в первой аудитории проходят занятия по физике, во второй аудитории проходят занятия по информатике.