Т ождества

Правила поглощения и склеивания

Эти правила используют для упрощения логических функций. Доказываются эти правила с помощью законов и тождеств алгебры логики.

1)

Доказательство:

2)

Доказательство:

3) (отрицание и следующая за ним операция поглощаются)

Д оказательство:

4) (отрицание и следующая за ним операция поглощаются)

Доказательство:

Задачи

1. Проверить, будет ли верным условие, записанное на С/C++:

F = (a>b) && (b>c) || (c<d) && (b<=c) при a = 5, b = 3, с = 3, d = 7.

Решение:

1) a > b  1 2) b>c  0 3) c < d  1 4) b <= c  1

5) F = 1 & 0 1&1 = 1

Ответ: для данных значений переменных условие верно.

2. При каких значениях переменной x условие, записанное на С/C++, будет верно : F = !(x > 8 || x < -3).

Решение:

Обозначим (x > 8) как A, а (x < -3) как B, тогда

= (x <=8) && (x>=-3)

Ответ: -3 <= x <= 8

3. Упростить условие: F = (x > y) && ( x <= y || у > z)

Решение:

Обозначим ( x > y) как A, тогда (x <= y) соответствует .

( y > z ) обозначим как B.

Тогда: (использовали 4 правило поглощения)

Ответ: F = (x > y) && (y>z)

4. Решить уравнение относительно X:

Для решения уравнения необходимо выразить X через другие переменные, для этого нужно упростить выражение, содержащее X.

Когда стоит отрицание над выражением, обычно убирают отрицание, ис­поль­зуя законы де Моргана:

Вынесем X за скобки, используя закон дистрибутивности: 

Ответ: ( к сожалению не всегда ответ можно полу­чить так просто, в более сложных случаях для решения уравнения анализируют таблицы истинности ).

5. Упростить функцию:

Решение:

(использовали закон де Моргана)

(использовали правило , где вмес­то A используется , а вместо B - )

Ответ:

6. Упростить функцию:

Решение:

В первой скобке дают 1, а если в выражение входит хотя бы одна еди­ни­ца, то все это выражение равно единице.

Ответ: (знаки умножения можно опустить, что мы и будем делать дальше, чтобы сократить запись выражений)

7. Упростить функцию:

Решение:

=

(подчеркнутые выражения сокращаются, поскольку A&A = A)

(использовали правила: и )

Ответ: F = XY.

8. Упростить функцию:

Решение:

(подчеркнутые части выражения сокращаются на основе правила )

(в подчеркнутой части выражения выносим за скобки)

Ответ:

9. Упростить функцию:

Решение:

Когда над выражением стоит отрицание, можно сначала попробовать упрос­тить выражение под отрицанием, а потом убирать отрицание:

, поэтому

аналогично

Ответ:

Переход от табличной формы функции алгебры логики к аналитической Запись функции по единицам

X	Y	Z	F
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Если функция задана таблицей истинности, а нужно по­лу­чить эту функцию в виде выражения (формулы), мож­но ис­поль­зовать следующий алгоритм:

1. записать произведение, включающее каждую пере­мен­ную в прямом или инверсном виде 1 раз, такое что оно рав­но 1 на одном из наборов значений пере­мен­ных, на котором функция F принимает значение 1, на­при­мер для набора (0, 1, 1) таким произведением бу­дет . Если значение переменной в текущем наборе рав­но 0, то эту переменную записывают с отрицанием. Такое произведение называется минтермом.

2. Записать сумму всех минтермов, соответствующих единицам исходной функ­ции.

В результате мы получим функцию, принимающую значение 1 на тех же наборах аргументов, что и функция, заданная таблицей истинности:

(данная функция равна 1 в 4 строчках, поэтому произведений – 4).

Такая запись функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). СДНФ – это запись функции в виде дизъюнкции конъюнкций (суммы произведений), причем в каждое произведение входят все переменные.