18

Алгебра логики

Оглавление

Таблицы истинности 2

Таблицы истинности основных операций 2

Задачи 3

Поразрядные операции 4

Основные законы алгебры логики 5

Тождества 6

Правила поглощения и склеивания 6

Задачи 6

Переход от табличной формы функции алгебры логики к аналитической 8

Запись функции по единицам 8

Запись функции по нулям 9

Логические функции от двух аргументов 9

Стрелка Пирса 10

Функция следования (импликация от A к B) 11

Функция эквивалентность 11

Штрих Шеффера 11

Приоритет основных логических операций 12

Задачи 12

Минимизация функций алгебры логики с помощью карт Карно 13

Правило записи функции по карте Карно по единицам 14

Карта Карно для функции от 4 переменных 15

Запись функции по нулям 18

Правило записи функции по карте Карно по нулям 18

В алгебре логики операции выполняются над переменными, которые могут принимать 2 значения: истина (true) или ложь (false – фальшь). Истина обычно обо­значается 1, а ложь – 0.

Эти переменные соответствуют утверждениям, отно­­сительно которых можно сказать, истинны они или ложны. Такие утверждения называются высказывания­ми.

Кроме того, эти переменные могут соответствовать наличию или отсутствию электрических потенциалов в переключательных (электронных схемах), поэтому аппарат алгебры логики используют для описания электронных схем.

В программировании логической переменной соответствует результат про­вер­ки отношения, например: x>0.

Логические переменные обычно обозначают латинскими буквами: A, B, C, … x, y, z.

В алгебре логики определены несколько логических операций над логически­ми переменными, основные из них: И, ИЛИ, НЕ.

Таблицы истинности

Таблицы истинности представляют собой таблицы, в которых перечислены все возможные комбинации значений аргументов и соответствующие им значения функций.

Таблицы истинности основных операций

1. Операция НЕ (логическое отрицание или инверсия).

Отрицание обычно обозначают: или .

В языке С/C++ отрицание обозначают знаком !, например: !(a>0) (это соот­вет­ствует отношению a <= 0).

0	1
1	0

О перация НЕ меняет 0 на 1, а 1 – на 0.

Условное графическое изображение логической схемы, осуществляющей инверсию сигнала:

2. Операция И (логическое умножение, или конъюнкция).

Логическое умножение обычно обозначают знаком & (амперсанд) или . Когда понятно, что речь идет о логическом умножении, используют точку или опускают знак этой операции.

В языке С/C++ логическое умножение обозначают знаком &&, например: (x == 0) && (y == 0).

X	Y	X & Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

О перация И дает значение 1 только в одном случае, когда оба операнда равны 1.

Условное графическое изображение логической схемы, осуществляющей логическое умножение сигналов:

X	Y	X Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

3. Операция ИЛИ (логическое сложение, или дизъюнкция).

Логическое сложение обычно обозначают знаком V. Когда понятно, что речь идет о логическом сложении, используют знак +.

В языке С/C++ логическое сложение обозначают знаком || , например: (x == 0) || (y == 0).

О перация ИЛИ дает значение 0 только в одном случае, когда оба операнда рав­ны 0.

Условное графическое изображение логической схемы, осуществляющей логическое сложение сигналов:

Приоритет операций

1) Унарное НЕ (когда операция относится к одной переменной).

2) Логическое умножение &

3) Логическое сложение

Задачи

Задача 1 Вычислить значение логического выражения

при x = 1, y = 1, z = 0

Решение:

1. y & z = 1 & 0 = 0 2) = = 1

3. 4)

5) Ответ: F = 1

Задача 2

Построить таблицу истинности функции:

Запишем все возможные комбинации значений переменных и будем запол­нять таблицу по столбцам.

Количество строк в таблице истинности = 2ⁿ, где n- количество логических аргументов функции. В данном случае n = 3, следовательно в таблице должно быть 8 строчек, не считая заголовка.

Чтобы записать все возможные комбинации значений аргументов, можно рас­сматривать их как двоичные числа от 000 до 111 (от 0 до 7).

Другой способ записи всех возможных комбинаций значений аргументов состоит в следующем:

1. 	X	Y	Z		X & Y		F
   0	0	0	0	1	0	0	0
   1	0	0	1	1	0	1	1
   2	0	1	0	1	0	0	0
   3	0	1	1	1	0	1	1
   4	1	0	0	0	0	0	0
   5	1	0	1	0	0	0	0
   6	1	1	0	0	1	0	1
   7	1	1	1	0	1	0	1

   разделить столбец значе­ний первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю – еди­ницами.

2. Разделить столбец значе­ний второй переменной на 4 части и заполнить чет­верти чередующимися группами нулей и единиц, начиная с группы нулей.

3. Продолжить деление столбцов пополам и заполнение их чередующимися группами нулей и удиниц; в последнем столбце должна идти последователь­ность: 0 1 0 1 0 1…