Каноническое уравнение прямой

Р ассмотрим на плоскости Оху произвольную прямую . Ее положение вполне определяется заданием какой-либо фиксированной точки М₀(х₀, у₀) и вектора , параллельного данной прямой или лежащего на ней (рис. 9.8). Этот вектор называется направляющим вектором прямой .

Пусть М(х, у) – произвольная точка прямой .

Так как векторы = {x – x₀, y – y₀} и коллинеарны, то их проекции пропорциональны:

. (9.10)

Последнее уравнение называется каноническим уравнением прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

П усть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат и некоторая прямая (рис. 9.9). Пусть  - угол, на который нужно повернуть ось Oх, чтобы она совпала с данной прямой. Этому углу припишем знак плюс или минус, в зависимости от того, будет ли поворот положительным (против часовой стрелки) или отрицательным (по часовой стрелке).Угол называется углом наклона прямой к оси Oх. В случае, когда прямая параллельна оси Oх, считают её угол наклона к оси Oх равным нулю.

В качестве направляющего вектора прямой возьмем единичный вектор , составляющий с осью Ох тот же угол, что и прямая . Подставив в каноническое уравнение прямой (9.10) координаты направляющего вектора m = cos, n = sin, получим

.

Разрешая полученное уравнение относительно у – у₀, получим

.

Обозначив tg = k, будем иметь

y – y₀ = k (x – x₀).

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, или уравнением пучка прямых.

Если  = 0 , то k = 0, т.е. прямая, параллельная оси Oх, имеет угловой коэффициент, равный нулю.

Если , то tg  = k теряет смысл. Значит, прямая, перпендикулярная оси Oх, не имеет углового коэффициента. Но, так как при , tg , говорят, что у прямой, перпендикулярной к оси Oх, угловой коэффициент обращается в бесконечность.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂) на плоскости. Составим каноническое уравнение прямой, проходящей через эти точки (рис. 9.10).

В качестве направляющего вектора возьмём . Тогда

.

Воспользуемся каноническим уравнением (9.10). У нас m = x₂ – x₁, n = y₂ – y₁. Тогда получим

.

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

Задать вопросы на понимание основных понятий:

1. Какое уравнение называется векторным уравнением прямой?

2. Какое уравнение называется скалярным уравнением прямой?

3. Какое уравнение называется общим уравнением прямой?

4. Какое уравнение называется каноническим уравнением прямой?

5. Какое уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом?

6. Какое уравнение называется уравнением прямой проходящей через две точки?

3. Угловые соотношения между прямыми

Рассмотрим две прямые, одну из них назовём первой, а другую – второй. Углом от первой прямой до второй называется тот угол  , на который нужно повернуть прямую ₁, чтобы она совпала с прямой ₂ или стала ей параллельной (рис. 9.11).

Углу  припишем знак плюс или минус, в зависимости от того, положителен или отрицателен был поворот от первой прямой ко второй.

Пусть прямые заданы уравнением с угловыми коэффициентами:

₁: у = к₁х + b₁,

₂: у = к₂х + b₂. (9.11)

Обозначим через ₁ и ₂ соответствующие углы наклона этих прямых к оси Ох. Из рис. 9.11 видно, что  = ₂ – ₁.

Предположим, что  , т.е. что прямые не перпендикулярны. Тогда

t g = tg(₂ - ₁) = .

Учитывая, что tg₂ = k₂ и tg ₁ = k₁, получим

tg = .

Эта формула определяет тангенс угла, образованного вращением вокруг точки М прямой с угловым коэффициентом k₁ до совмещения ее с прямой , имеющей угловой коэффициент k₂.

Прямые и , определяемые уравнениями (9.11), параллельны в том и только в том случае, когда тангенсы углов наклона их к оси Ох равны:

tg₁ = tg₂  k₁ = k₂.

В случае перпендикулярности прямых и будем иметь:

, отсюда получим .

Пример 9.4. Заданы координаты вершин треугольника (рис. 9.12):

А(-4, -5), В(-1, 4), С(4, -1).

Требуется найти уравнения сторон треугольника, а также уравнения медианы АД, высоты ВН и биссектрисы СЕ.

Решение. Уравнения сторон треугольника составим, используя уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

.

Сторона АВ:

 .

Полученное уравнение можно оставить в канонической форме, а можно преобразовать в общую:

3 (у + 5) = 9 (х + 4)  у + 5 = 3х + 12.

Отсюда получаем уравнение АВ:

3х – у + 7 = 0.

Аналогично выводятся уравнения сторон ВС и АС.

ВС:   у – 4 = - (х + 1)  х + у – 3 = 0.

АС:   х + 4 = 2 (у + 5)  х – 2у – 6 = 0.

Найдем координаты точки Д, делящей отрезок ВС пополам:

,

.

Составляем уравнение АД:  ,

отсюда: 13 (х + 4) = 11 (у + 5)  13х – 11у – 3 = 0.

Чтобы составить уравнение высоты ВН, ее уравнение ищем в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

у – у₀ = k (x – x₀).

В качестве точки с координатами (х₀, у₀) берем точку В, а угловой коэффициент k найдем из условия перпендикулярности прямых ВН и АС:

.

Из уравнения прямой АС находим k_AC:

х – 2у – 6 = 0. Выражаем отсюда у = 0,5х – 3, значит, k_AC = 0,5, тогда:

. Тогда уравнение высоты ВН:

у – 4 = -2 (x – (-1))  2х + у – 2 = 0.

Чтобы составить уравнение биссектрисы СЕ, ее уравнение ищем также в виде пучка прямых:

у – у₀ = k (x – x₀).

В качестве точки с координатами (х₀, у₀) здесь берем точку С, а угловой коэффициент k найдем из условия равенства углов ВСЕ и ЕСА:

tgВСЕ = tgВСА  .

В левой части последнего равенства угловой коэффициент k прямой СЕ стоит на первом месте, т.к. при повороте прямой, проходящей через точку Е параллельно оси Ох, сначала "встретится" прямая СВ, а затем – прямая СЕ. Для угла ЕСА – обратная ситуация, поэтому в правой части k – на втором месте.

Итак, k ищем из уравнения:

k_BC = -1, k_AC = 0,5,  

  (k + 1) (k + 2) = (1 – k) (1 – 2k) 

 k² + 3k + 2 = 2k² – 3k +1  k² - 6k - 1 =0.

Корнями этого квадратного уравнения являются числа:

.

Выбираем из них отрицательное значение (рис. 9.12):

,

тогда получим уравнение СЕ:

у + 1 = ( )(х – 4).

Таким образом, угловые соотношения между прямыми чаще всего определяются угловыми коэффициентами прямых.