2. Различные уравнения прямой Векторное и скалярное уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Рассмотрим на плоскости R² декартову прямоугольную систему координат 0, , и произвольную прямую . Пусть = {А, В} – какой-либо ненулевой вектор, перпендикулярный прямой (рис. 9.6).

Возьмем на прямой какую-либо фиксированную точку М₀(х₀, у₀) и произвольную точку М(х, у) плоскости. Обозначим через = {х₀, у₀}, = {х, у} радиусы-векторы этих точек соответственно. Составим уравнение прямой . Ясно, что точка М(х, у) будет принадлежать прямой тогда и только тогда, когда векторы = {А, В} и = – = {х – х₀, у – у₀} взаимно перпендикулярны, . Но условием перпендикулярности векторов служит равенство нулю их скалярного произведения:

 = { – } = 0. (9.7)

Этому равенству удовлетворяет радиус-вектор = любой точки М(х, у) прямой и не удовлетворяет радиус-вектор всякой точки, которая не лежит на прямой . В связи с этим оно называется векторным уравнением прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀) перпендикулярно данному вектору = {А, В}.

Выражая в уравнении (9.7) скалярное произведение векторов через их координаты, запишем уравнение прямой в скалярной форме

А (х – х₀) + В (у – у₀) = 0, (9.8)

или в виде

Ах + Ву + С = 0, (9.9)

где С = – Ах₀ – Ву₀.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 9.1. В декартовой прямоугольной системе координат всякая прямая определяется уравнением первой степени Ах + Ву + С = 0 с двумя переменными х и у.

Проведем теперь рассуждения в обратном порядке. Предположим, что на плоскости введена декартова прямоугольная система координат Оху и задано уравнение первой степени (9.9). Хотя бы один из его коэффициентов A и B не равен нулю, иначе оно не могло бы быть уравнением. Пусть (х_0, у₀) – какое-либо решение уравнения (9.9). Тогда Ax₀ + By₀ + С = 0. Вычитая из этого равенства равенство (9.9), получим уравнение A (x – x₀) + B (y – y₀) = 0, эквивалентное уравнению (9.8). Но оно, как мы видим, служит уравнением прямой , проходящей через точку M₀ (x₀, y₀,) перпендикулярно вектору = {A, B}.

Таким образом, доказана теорема, обратная теореме 9.1.

Теорема 9.2. В декартовой системе координат всякое уравнение первой степени (9.9) с двумя переменными определяет прямую линию, т.е служит уравнением некоторой вполне определённой прямой на плоскости.

Общее уравнение

Придавая коэффициентам A, B и свободному члену С уравнения (9.9) всевозможные числовые значения, мы вместе с тем будем получать всевозможные прямые, определяемые уравнением (9.9). По этой причине уравнение (9.9) называют общим уравнением прямой в рассматриваемой декартовой системе координат.

И з предыдущего следует, что коэффициенты A и B при переменных x и y в общем уравнении прямой равны соответственно координатам нормального вектора = {A, B} к этой прямой (рис. 9.7).

Если А = 0, то прямая параллельна оси Ох.

Если В = 0, то прямая параллельна оси Оу.

Если С = 0, то прямая проходит через начало координат.