14

	УТВЕРЖДАЮ
	Заведующий кафедрой № 13
	к.т.н. п/п В. Шлыков
	25.07.2008 г.

Тема № 2

Аналитическая геометрия

(тексты лекций)

Занятие №1	Прямая линия на плоскости
Занятие №3	Кривые второго порядка
Занятие №6	Плоскость и прямая в пространстве R3
Занятие №8	Поверхности второго порядка

	Обсуждены на заседании кафедры,
	протокол № 11 от 30.06.2008г.

Новочеркасск 2008 год

Занятие 2.1. прямая линия на плоскости

Учебные и методические цели:

1. Рассмотреть различные виды уравнений линии и прямой на плоскости.

2. Прививать умение качественного конспектирования учебного материала.

Время: 2 часа.

План лекции

№ п/п	Учебные вопросы	Время, мин
1.	ВВОДНАЯ ЧАСТЬ	5
2.	ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ	80
	1. Линии и их уравнения в декартовых и полярных координатах. Параметрические уравнения линий.	25
	2. Различные уравнения прямой.	35
	3. Угловые соотношения между прямыми.	20
3.	ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ	5

Литература:

1. Шлыков В.И. Математика. Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия: Курс лекций/ НВВКУС. – Новочеркасск, 2005. – 141 c.

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

При проведении занятия в аудитории, оснащенной мультимедийным оборудованием, возможно использование электронной лекции Лек2_01.

(УМК \ Математика \ Лекции \ Тема2.)

На данной лекции мы рассмотрим линии и их уравнения в различных системах координат, а также основные типы уравнения прямой на плоскости и угловые соотношения между прямыми.

Объявить тему, цель занятия и литературу.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Линии и их уравнения в декартовых и полярных координатах. Параметрические уравнения линий

Провести краткий опрос по основным понятиям, изложенным в предыдущей лекции:

1. Какое пространство называется линейным?

2. Какие элементы называются линейно зависимыми?

3. Что называется базисом линейного пространства?

4. Что называется размерностью линейного пространства?

Рассмотрим уравнение с двумя переменными

F (x, y) = 0 (9.1)

Всякая пара чисел (x₀, y₀), которая при подстановке в уравнение (9.1) обращает его в числовое тождество F (x₀, y₀) = 0, называется решением уравнения (9.1). В этом случае говорят также, что пара чисел (x₀, y₀) удовлетворяет уравнению (9.1).

П редположим, что множество решений уравнения (9.1) не является пустым. Каждое решение - есть упорядоченная пара чисел (x, y), на плоскости этой паре чисел (x, y) соответствует определённая точка М(х,у). Множество всех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения (9.1), представляет некоторую фигуру на плоскости (рис. 9.1):

 = .

Поскольку точки фигуры  удовлетворяют уравнению (9.1), можно говорить, что фигура  определяется уравнением (9.1), а уравнение (9.1) называть уравнением фигуры  относительно заданной прямоугольной системы координат.

Таким образом, уравнением фигуры  относительно заданной системы координат называется уравнение, которому удовлетворяют координаты (x, y) любой точки этой фигуры и не удовлетворяют координаты никаких других точек плоскости. Фигура  может, в частности, представлять некоторую линию L на плоскости (рис. 9.2):  = L = .

В этом случае уравнение (9.1) называют уравнением линии L в прямоугольной системе координат.

Таким образом, уравнение линии L в данной системе координат называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты (x, y) любой точки М этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, которая не лежит на этой линии. Про линию L при этом говорят, что она определяется уравнением (9.1).

Рассмотрим параметрические уравнения линии.

Предположим, что заданы две действительные функции аргумента t:

  t  . (9.2)

Значения x(t) и y(t) при каждом значении t условимся рассматривать, как координаты некоторой точки M плоскости R² . При изменении аргумента t точка M (x, y) придёт в движение и может описать при этом некоторую линию L (траекторию). Аргумент t называется переменным параметром. В связи с этим равенства (9.2) называют параметрическими уравнениями линии L.

Если из уравнений (9.2) удаётся исключить параметр t, то получится обычное уравнение F(x, y) = 0 той же линии L.

Параметрические уравнения играют важную роль в механике. Если материальная точка M движется по плоскости, то её координаты x и y являются некоторыми функциями времени t:

 t   . (9.3)

Уравнения (9.3), выражающие зависимость изменяющихся (текущих) координат движущейся точки M от времени t, называются параметрическими уравнениями траектории движения точки.

Пример 9.1. Радиус-вектор точки M равномерно вращается с постоянной угловой скоростью . Составить параметрические уравнения траектории движения точки M.

Решение. Обозначим через M₀ начальное положение точки (в момент времени t = 0) и угол  ₀ – угол, который образует её радиус-вектор с положительным направлением оси OX (рис. 9.3). Через t секунд после начала движения радиус-вектор точки M сделает поворот на угол t и будет составлять с остью OX угол  = ₀ + t.

С ледовательно, в момент времени t точка M будет иметь координаты:

(9.4)

Равенства (9.4) являются параметрическими уравнениями траектории движения точки. Параметр t из уравнений (9.4) можно исключить. Действительно, возводя в квадрат левые и правые части равенств (9.4) и складывая результаты, получим

x² + y² = R² или x² + y² = R².

Таким образом, траекторией движения точки M является окружность радиуса R с центром в начале координат.

Остановимся на уравнении линии в полярных координатах.

Часто приходится рассматривать уравнения и определяемые ими линии в полярной системе координат. Уравнением линии L в полярных координатах называется уравнение вида

, (9.5)

которому удовлетворяют полярные координаты (, ) любой точки линии L и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на линии L.

И здесь могут рассматриваться две основные задачи аналитической геометрии:

1. Дано уравнение (9.5); нужно построить линию L, определяемую им.

2. Задана линия L путём описания свойств её точек; требуется составить уравнение (9.5) этой линии.

Пример 9.2. Построить линию L, определённую уравнением

. (9.6)

Решение. Функция (9.6) – периодическая, с периодом 2, чётная. Поэтому для построения её графика (линии L) в полярной системе координат составим таблицу её значений в промежутке .

Н а лучах  = 0,  =  / 2,  =  откладываем точки с полярными радиусами  = 2а,  = а,  = 0 соответственно. Через полученные точки проведём часть линии, соответствующую промежутку (рис. 9.4).

В силу чётности функции (9.6) участок линии для отрицательных значений  будет симметричен построенному ранее участку относительно полярной оси.

Полученная кривая напоминает по своей форме сечение сердца и получила название кардиоиды.

Пример 9.3. Составить уравнение окружности радиуса R, проходящей через полюс, центр которой лежит на полярной оси (рис. 9.5).

Решение. Обозначим через  и  полярные координаты произвольной точки M плоскости R².Точка M лежит на окружности тогда и только тогда, когда угол OMA - прямой. Следовательно,  = 2Rcos. Это и есть полярное уравнение рассматриваемой окружности.

Выводы. В декартовых и полярных координатах линии задаются уравнениями. Существуют три основных способа задания таких уравнений: явный, неявный и параметрический.