4.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Операция, обратная дифференцированию называется интегрированием, а её результат – первообразной функцией.

Определение. Функция называется первообразной для функции если для всех из области определения функции .

Для данной функции существует множество первообразных , где С – произвольная постоянная.

Определение. Совокупность первообразных для данной функции называется неопределенным интегралом. Обозначается: .

При этом называется подынтегральной функцией. Т. об., .

Слово «неопределенный» подчеркивает, что существует множество функций, первообразных для данной функции . Т. об., неопределенный интеграл представляет собой функцию.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет на плоскости семейство кривых, уравнения которых отличаются друг от друга на постоянную величину С.

4.2. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Неопределенный интеграл от дифференциала первообразной для некоторой функции равен некоторой первообразной этой же функции, причем необязательно совпадает с , т. е.:

3. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций

4.3. Таблица простейших неопределенных интегралов

Учитывая то, что формулы для неопределенных интегралов от некоторых элементарных функций могут быть получены исходя из того, что интегрирование представляет собой операцию обратную дифференцированию, получим следующую таблицу простейших неопределенных интегралов.

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7. 14.

4.4. Основные методы интегрирования

Для вычисления любого интеграла мы должны, если это возможно, пользуясь теми или иными способами привести его к табличному интегралу и таким образом найти искомый результат.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся методы интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование – нахождение интеграла функции, основанное на прямом применении свойств неопределенных интегралов и формул интегрирования.

Пример.

.

2. Метод подстановки – это переход от данной переменной интегрирования к другой переменной для того, чтобы упростить подынтегральное выражение и привести к одному из табличных интегралов. Выбор подстановки в каждом определенном случае зависит от вида подынтегральной функции. Нельзя указать общее правило для её выбора.

Пример.

3. Метод интегрирования по частям – его получают на основании формулы дифференцирования произведения.

.

В качестве функции обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве – оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая , из которой можно определить путем интегрирования. В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному метод интегрирования по частям применяется несколько раз.

Пример.

.