Методика построения логарифмических частотных характеристик сау

Пусть передаточная функция разомкнутой статической САУ, состоящей из минимально-фазовых звеньев 1-го порядка, имеет вид в реальных системах n(m-n).

Отобразим W(р) в область преобразований Фурье преобразуем математическое описание каждого элементарного звена к форме и расположим в порядке убывания величины Т_i:

Тогда

Алгоритм построения ЛАЧХ

1. На оси  нанесите точки _i=1/T_i. Проведите через эти точки вертикальные штриховые линии.

2. Проведите контурную линию с ординатой 20lgk слева до первой вертикальной линии при отсутствии нулевых полюсов и нулей в передаточной функции или линию с наклоном -20дБ/дек через точку при одном нулевом полюсе, или линию с наклоном -40 дБ/дек через точку при двух нулевых полюсах, или линию с наклоном +20 дБ/дек через точку при одном корне числителя, равном нулю, или линию с наклоном +40 дБ/дек через точку при двух нулях, равных нулю, и т.д.

3. До следующей вертикальной линии проведите контурную линию с наклоном -20* дБ/дек ( – количество элементарных звеньев с одинаковыми Ti), если звенья апериодические, или +20* дБ/дек для дифференцирующих звеньев первого порядка.

4. Уменьшите (увеличьте) наклон на -20* дБ/дек (+20* дБ/дек) на следующей вертикальной линии до полного построения L().

Высокочастотные асимптоты ЛАЧХ (справа от наибольшей сопрягающей частоты) проводят в требуемом диапазоне частот.

Примечания

1. Для построения ЛАЧХ звена второго порядка используются приведенные характеристики в технической литературе или строятся по точкам вблизи _i=1/T_i, вдали с асимптотами  левой 0 дБ/дек , правой -40 дБ/дек для колебательного звена и +40 дБ/дек для звена дифференцирующего второго порядка.

2. Правило построения ЛЧХ систем с неминимально-фазовыми звеньями остаётся тем же.

3. ЛФЧХ строятся по точкам, рассчитанным аналитически.

Пример

Пусть задана передаточная функция объекта

.

Требуется построить асимптотическую ЛАЧХ объекта.

1. Выделение элементарных звеньев.

Вынесем множитель из каждой скобки так, чтобы свободный член в этой скобке был равен 1:

.

Корни квадратного трёхчлена в знаменателе комплексно-сопряжённые, поэтому можно представить заданную передаточную функцию в виде произведения передаточного коэффициента и четырёх передаточных функций элементарных звеньев:

,

, где .

Звенья с передаточными функциями и - идеальные звенья с введением производной, второе из них – неминимально - фазовое. Звено с передаточной функцией - апериодическое звено, а звено с - колебательное, поскольку .

2. Определение сопрягающих частот.

Сопрягающие частоты – это точки излома ЛАЧХ. Они определяются как . Таким образом,

рад/с, рад/с,

рад/с, рад/с.

Поскольку при построении ЛАЧХ на оси абсцисс откладывается lgω, вычислим десятичные логарифмы этих частот:

_{, ,}

_{, .}

3. Построение ЛАЧХ.

Отметим найденные точки излома ЛАЧХ на оси абсцисс:

Поскольку интегрирующие и дифференцирующие звенья в системе отсутствуют, на низких частотах (примерно до первой сопрягающей частоты ) система имеет постоянное усиление, равное k=10. Учитывая, что амплитудная характеристика откладывается в логарифмическом масштабе (в децибеллах) получаем

20lgk=20lg10=20

и можно сразу нарисовать начальный участок ЛАЧХ:

На частоте вступает в действие апериодическое звено, которое даёт наклон -20 дБ/дек, в интервале от до график спускается вниз на

дБ, поэтому ордината для частоты равна дБ:

На частоте идеальное звено с введением производной добавляет наклон +20 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен нулю:

На частоте неминимально – фазовое идеальное звено с введением производной ещё добавляет наклон +20 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен +20 дБ/дек. В интервале от до график поднимается на дБ, поэтому ордината для частоты равна 9,6+10,4 20 дБ:

Наконец, на частоте колебательное звено добавляет наклон -40 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен -20 дБ/дек:

Приложение 3

Пример рекомендуемой последовательности действий при анализе

устойчивости системы

Пусть задана структурная схема (рис. 5) и параметры исследуемой системы.

Рис. 5. Структурная схема исследуемой системы