Реализация цифровых регуляторов

Цифровые регуляторы могут быть реализованы в виде импульсных фильтров (на базе четырехполюсников в сочетании с квантователями и экстраполяторами), на основе микроЭВМ и цифровых устройств.

Передаточная функция цифрового регулятора в соответствии с рис.7.4б будет (7.13)

причем всегда должно быть n≥m.

Разделим числитель на знаменатель на zⁿ. Тогда для предельного случая n=m

(7.14)

Если a₀=1, то из (7.14) можно получить линейный алгоритм работы цифрового управляющего устройства:

u[k]=b₀e[k]+b₁e[k-1]+…+b_me[k-n]- (a₁u[k-1]+a₂u[k-2]+…+a_nu[k-n]). (7.15)

Из полученных соотношений можно установить, что цифровой регулятор оказывается физически реализуемым, если в (7.14) нет слагаемых с положительной степенью z. Наличие хотя бы одного члена в (7.14) с положительной степенью z означает «упреждение», т.е. показывает, что выходной сигнал опережает входной. В равной степени это относится и к слагаемым уравнения (7.15), т.е. значение u[k] будет определяться значениями опережающих его слагаемых u[k+1] и e[k+1].

Условием физической реализуемости цифрового регулятора, таким образом, является выполнение условия n≥m. Кроме того, при n=m знаменатель (7.14) не должен иметь сомножителя z^-1 при b₀ ≠0 , т.е. должно быть также a₀≠0.

К цифровым регуляторам предъявляются требования к точности реализации параметров при их вычислении с ограниченной разрядностью процессоров.

Для обеспечения устойчивости регуляторов должно выполняться условие расположения полюсов их передаточной функции внутри единичной окружности на комплексной плоскости.

Передаточная функция цифрового регулятора обычно реализуется в виде программы ЭВМ, реализуемых методами прямого, последовательного и параллельного программирования.

При прямом программировании из передаточной функции (7.14) запишем уравнение в форме обратного преобразования:

(7.16)

решением которого будет:

(7.17)

В общем виде уравнение (7.17) может быть представлено, как разность двух групп слагаемых входного и выходного сигналов:

(7.18)

Для последовательного программирования передаточную функцию регулятора представляют в виде произведения простейших передаточных функций, каждая из которых реализуется простейшими программами:

(7.19)

где p – наибольшее из чисел n и m. Для каждой простейшей программы используется метод прямого программирования.

При параллельном программировании передаточная функция (7.14) представляется в виде (7.20)

где p – наибольшее из чисел n и m. Здесь также каждая из передаточных функций может быть реализована методом прямого программирования.

Пример 1

Пусть передаточная функция цифрового регулятора имеет вид:

Регулятор является физически реализуемым (n=2, m=1 при и устойчивым (полюсы z₁=0.5, z₂=0.1).

1. Прямое программирование.

Из передаточной функции запишем линейное уравнение регулятора:

Выразим обратное z- преобразование к обеим частям уравнения:

Применяя метод прямой (непосредственной) декомпозиции к предыдущему уравнению

,

где или ,

получим систему:

Структура решения данной системы уравнений приведена на рис.1.

Рис.1. Прямое программирование передаточной функции

2. Последовательное программирование.

Передаточную функцию регулятора запишем в виде произведения двух функций, например, вида:

Программирование выполним, представив произведение передаточных функций системой уравнений:

X(z)=(1+0.25z^-1)E(z)+0.5z^-1X(z)

U(z)=5X(z)+0.1z^-1U(z).

Структурная схема решения системы приведена на рис.7.9.

Рис.7.9 Последовательное программирование передаточной функции

3. Параллельное программирование.

Разложим передаточную функцию регулятора на сумму простейших:

Составим систему уравнений, U(z)=U₁(z)-U₂(z)

U₁(z)=9.375E(z)+0.5z^-1U₁(z)

U₂(z)= 4.375E(z)+0.1z^-1U₂(z),

структурная схема решения системы приведена на рис.7.10.

Рис.2. Параллельное программирование передаточной функции

Для преобразования сложной дискретной передаточной функции к алгебраической сумме элементарных используйте две леммы высшей

алгебры:

Лемма 1. Пусть - правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами и пусть S₁ есть вещественный корень полинома Q(s)

кратности r, тогда существует такое число А и такой полином P₁(s), что

справедливо равенство

,

где ; при этом - правильная рациональная дробь.

Лемма 2. Пусть - правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами и Q(s)=(s²+ps+q)^m∙V(s), где , корни полинома не

являются корнями полинома V(s), V(s) не делится нацело на (s²+ps+q).

Тогда найдутся такие вещественные числа M и N и такой полином P₁(s),что

,

где второе слагаемое будет также правильная рациональная дробь.

Пример:

Здесь использован метод неопределённых коэффициентов:

Примечание:

1. .