2 Основні закони розподілу випадкової величини в теорії надійності

2.1 Теоретичні відомості

Основні закони розподілу неперервних випадкових величин - експоненційний закон, закон розподілу Вейбулла-Гнєденка, нормальний закон розподілу (закон Гаусса).

Експоненційний закон. Випадкова величина х розподілена за експоненційним законом, якщо густина ймовірності має вигляд

, (2.1)

де х – випадкова величина, а  - стала.

Якщо за випадкову величину прийняти час безвідмовної роботи t, то вираз (2.1) можна переписати так:

, (2.2)

де  - інтенсивність відмов

,

де N(t), N(t+t) – кількість працездатних виробів відповідно в моменти часу t і t+;

- середній час безвідмовної роботи.

Інтегральна функція розподілу

(2.3)

або , (2.4)

де – імовірність відмови.

Імовірність безвідмовної роботи

; (2.5)

За реальних умов інтенсивність відмов  не завжди є незмінною. Типова залежність показана на рис.1.1.

Рисунок 1.1 – Типова залежність інтенсивності відмов від часу роботи виробів

Ця залежність має три явно виражені області зміни інтенсивності (t). В області І інтенсивність відмов велика, що зумовлено виходом з ладу виробів у перший період роботи через наявність невиявлених прихованих дефектів. Область ІІ характеризується незмінною або слабо змінюваною інтенсивністю відмов і є робочою областю виробів. В ІІІ області інтенсивність  різко зростає внаслідок зносу і старіння.

Закон розподілу Вейбулла-Гнєденка. За законом Вейбулла - Гнєденка розподіляється час наробітку ІС до відмови.

Диференційна функція розподілу (густина ймовірності):

. (2.6)

Від експоненційної функції розподілу вона відрізняється наявністю коефіцієнта форми b, який для інтегрованих мікросхем має значення b<1. В цілому b може бути і більшим від 1. При b=1 закон Вейбулла - Гнєденка співпадає з експоненційним.

Імовірність безвідмовної роботи

. (2.7)

Нормальний закон розподілу (закон Гаусса). Нормальний закон часто використовують для опису наробітку до відмови, опису помилок вимірювання і цілого ряду інших величин.

Взагалі нормальний закон застосовують до неперервних величин, які розподілені в інтервалі від - до +, в той час як наробіток до відмови може приймати тільки позитивні значення. В останньому випадку використовується зрізаний (усеченный) нормальний закон, але за умови, що відношення M(t)/(t)>2, що звичайно має місце на практиці. Ці закони практично нічим не відрізняються один від одного. Тут M(t), (t) – математичне очікування і дисперсія наробітку до відмови.

Густина розподілу (густина ймовірності) наробітку до відмови

має вигляд:

. (2.8)

Крива нормального розподілу має дзвоноподібний вигляд, симетричний відносно центра розсіювання в точці . Якщо змінювати M(t) без зміни (t), то крива розподілу буде зсуватись вздовж осі часу без зміни своєї форми (рис.1.2,а); при збільшенні (t) зворотнопропорційно буде зменшуватись максимальна ордината кривої (рис.1.2,б).

Рисунок 1.2 – Густина ймовірності при нормальному законі розподілу

Основні закони розподілу дискретних випадкових величин - гіпергеометричний закон, біноміальний закон, закон Пуассона.

Гіпергеометричний закон. Припустимо, що в партії інтегрованих схем обсягом N штук є D дефектних виробів. Якщо взяти із цієї генеральної сукупності методом випадкового відбору вибірку обсягом n, то ймовірність q того, що у взятій нами вибірці виявиться d дефектних виробів, у загальному випадку описується гіпергеометричним законом:

, (2.9)

де - кількість сполучень із D по d;

- теж кількість сполучень.

Математичне очікування М[d] і дисперсія σ²[d] визначаються за допомогою формул:

, (2.10)

, (2.11)

де - імовірність відмов ІС в генеральній сукупності;

- імовірність безвідмовної роботи ІС.

Біноміальний закон. Якщо обсяг вибірки n значно менший, ніж обсяг усієї партії ІС N, тобто n0,1N, то гіпергеометричний закон зводиться до біноміального, при цьому ймовірність q появи d відмов в партії з n ІС буде визначатися формулою:

, (2.12)

де , а - імовірність відмови в контрольованій партії ІС.

Математичне очікування і дисперсія визначаються за формулами:

; ,

де .

Закон Пуассона. Якщо обсяг вибірки малий, а ймовірність безвідмовної роботи висока (n/N<0,1, а P>0,9), то біноміальний закон переходить в закон Пуассона:

,

де d може приймати значення 0,1,2,…,

а=nQ – параметр закону Пуассона.

При цьому математичне очікування і дисперсія визначаються за формулами:

Коефіцієнт варіації V може бути обчислений за формулою:

.