Тема 4. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Частное и полное приращение.

2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.

3. Частные производные функции нескольких переменных. Геометрии­ческий смысл частных производных функции нескольких переменных.

4. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функ­ции нескольких переменных.

5. Дифференцирование сложной функции и неявно заданной функции. Полный дифференциал.

6. Производная по направлению. Градиент функции нескольких пере­менных. Свойства градиента.

7. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

8. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и доста­точные условия существования экстремума.

9. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод мно­жителей Лагранжа.

10. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в области.

4.1. Понятие функции нескольких переменных и ее предела

Пусть – множество точек пространства . Если каждой точке по определенному закону ставится в соответствие неко­торое число , то говорят, что на множестве определена функция переменных .

При этом называются независимыми переменными или аргументами.

Множество точек , для которых существует , называют областью определения функции и обозначают , а множество значений обозначают .

– функция двух переменных.

Пусть функция определена на множестве .

Число b называют пределом функции в точке , если для любого числа существует такое число , что для всех точек , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Обозначение:

или .

Частным приращением по переменной функции в точке называется разность

,

где – приращение переменной .

Если существует , то он называется частной производной функции по переменной в точке Х и обозначается (или ).

При нахождении частной производной по одной из переменных пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все остальные переменные постоянными.

Пример 4.1. Найти частные производные функции .

Решение. Имеем

,

.

Рассмотрим функцию трех переменных на множестве .

Полным дифференциалом функции и в точке называется главная часть полного приращения функции

,

линейная относительно приращений переменных , и ( А , В, С – постоянные числа ).

Полный дифференциал находят по формуле

, (4.1)

где .

Производной по направлению вектора функции в точке называется предел

, если этот предел существует.

Обозначим через направляющие косинусы вектора .

Тогда

(4.2)

Градиентом функции в точке называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в этой точке:

(4.3)

При этом: 1) , 2) .

Пример 4.2. Дана функция , точка , вектор . Найти: а) полный дифференциал , б) производную по направ­лению вектора , в) градиент функции в точке .

Решение. Найдем частные производные функции :

.

.

Вычислим значения производных в точке :

. ,

.

а. Находим полный дифференциал функции в точке по формуле (4.1):

.

б. Найдем направляющие косинусы вектора . Имеем ,

.

По формуле (4.2) вычисляем производную

.

в. Вычисляем градиент функции в точке по формуле (4.3):

.