Построение графика функции

Исследование функции и построение ее графика можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность (нечетность) и периодичность. Найти точки пересечения графика с осями координат.

3. Найти точки разрыва функции и асимптоты кривой.

4. Определить интервалы монотонности и локальные экстремумы функции.

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Построить график функции.

Пример 3.16. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1. Находим область определения .

2. Поскольку , то функция не является четной, нечетной и периодической.

Находим точки пересечения с осями координат:

а) так как , то график функции не пересекает ось ;

б) при график функции пересекает ось Оу в точке .

3. Функция не определена в точке . Поскольку , то – точка разрыва второго рода. Так как , то прямая есть вертикальная асимптота.

Далее находим

,

.

Следовательно, прямая есть наклонная асимптота.

4. Вычислим .

Первая производная не существует в точке , которая не принадле­жит области определения и, следовательно, не является критической точкой.

При получаем или . Точки и являются критическими (стационарными) точками.

Определим интервалы монотонности из неравенств и :

при ;

при .

Следовательно, функция возрастает при и убывает при .

В точке функция имеет максимум = .

В точке функция имеет минимум = .

5. Находим

.

Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции из неравенств . Имеем при , при . Следовательно, кривая выпукла на и вогнута на . Так как не принадлежит области определения функции и , то точек перегиба нет.

Результаты исследования функции заносим в таблицу.

				1
	+	0	–	не сущ.	–	0	+
	–	–	–	не сущ.	+	+	+
		- 0,83 max		не сущ.		4,83 min

6. Исходя из результатов таблицы строим график данной функции.

Y

1

0 X

1

- 1

Задание 4. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя–Бернулли.

4.1. а) , б) , в) .

4.2. а) , б) , в) .

4.3. а) , б) , в) .

4.4. а) , б) , в) .

4.5. а) , б) , в) .

4.6. а) , б) , в) .

4.7. а) , б) , в) .

4.8. а) , б) , в) .

4.9. а) , б) , в) .

4.10. а) , б) , в) .

4.11. а) , б) , в) .

4.12. а) , б) , в)

4.13. а) , б) , в)

4.14. а) , б) , в) .

4.15. а) , б) , в) .

4.16. а) , б) , в) .

4.17. а) , б) , в) .

4.18. а) , б) , в) .

4.19. а) , б) , в) .

4.20. а) , б) , в) .

4.21. а) , б) , в) .

4.22. а) , б) , в) .

4.23. а) , б) , в) .

4.24. а) , б) , в) .

4.25. а) , б) , в) .

4.26. а) , б) , в) .

4.27. а) , б) , в) .

4.28. а) , б) , в) .

4.29. а) , б) , в) .

4.30. а) , б) , в) .

Задание 5. Найти производные .

5.1. а) , б) , в) , г) .

5.2. а) , б) , в) , г) .

5.3. а) , б) , в) , г) .

5.4. а) , б) , в) , г) .

5.5. а) , б) , в) ,

г) .

5.6. а) , б) , в) , г) .

5.7. а) , б) , в) ,

г) .

5.8. а) , б) , в) ,

г) .

5.9. а) , б) , в) ,

г) .

5.10. а) , б) , в) , г) .

5.11. а) , б) , в) , г) .

5.12. а) , б) , в) ,

г) .

5.13. а) , б) , в) , г) .

5.14. а) , б) , в) , г) .

5.15. а) , б) , в) ,

г) .

5.16. а) , б) , в) ,

г) .

5.17. а) , б) , в) ,

г) .

5.18. а) , б) , в) , г) .

5.19. а) , б) , в) ,

г) .

5.20. а) , б) , в) ,

г) .

5.21. а) , б) , в) ,

г) .

5.22. а) , б) , в) , г) .

5.23. а) , б) , в) , г) .

5.24. а) , б) , в) ,

г) .

5.25. а) , б) , в) , г) .

5.26. а) , б) , в) , г) .

5.27. а) , б) , в) ,

г) .

5.28. а) , б) , в) ,

г) .

5.29. а) , б) , в) ,

г) .

5.30. а) , б) , в) , г) .

Задание 6. Найти производные второго порядка для параметри­ческой функции.

6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

6.5. 6.6. 6.7. 6.8.

6.9. 6.10. 6.11. 6.12.

6.13. 6.14. 6.15. 6.16.

6.17. 6.18. 6.19.

6.20. 6.21. 6.22.

6.23. 6.24. 6.25.

6.26. 6.27. 6.28.

6.29. 6.30.

Задание 7. Исследовать функцию и построить ее график.

7.1. . 7.2. . 7.3. . 7.4. .

7.5. . 7.6. . 7.7. . 7.8. .

7.9. . 7.10. . 7.11. . 7.12. .

7.13. . 7.14. . 7.15. .

7.16. . 7.17. . 7.18. .

7.19. . 7.20. . 7.21. .

7.22. . 7.23. . 7.24. .

7.25. . 7.26. . 7.27. .

7.28. . 7.29. . 7.30. .