5 Дифференциальные уравнения второго порядка
Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называются дифференциальным уравнением второго порядка
, (5.1)
где
и
– ее производные по
от первого и второго порядка,
– заданная функция переменных
или
. (5.2)
дифференциальное
уравнение второго порядка разрешенное
относительно
.
Общим
решением уравнения
называется функция
,
содержащая две произвольные постоянные
и
и удовлетворяющая условиям:
1) при любых значениях постоянных и функция является решением (5.2).
2) каковы бы не были начальные условия
(5.3)
существуют
единственные значения
и
такие, что функция
является решением уравнения (5.2) и
удовлетворяет начальным условиям (5.3).
Частным решением уравнения (5.2) называется всякое решение , получающееся из общего решения при фиксированных значениях и .
Простейшие уравнения второго порядка имеют вид
или 
.
Уравнение такого вида решается двукратным интегрированием.
Пример 5.1
.
Решение
1 способ
1)
;
2)
, 
;
3)
, 
;
4)
;
5)
.
– общее
решение.
2 способ
1)
, где
;
2)
, 
;
3)
, 
;
4)
,
,
,
.
Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка
. (5.4)
1) Ввести подстановку
. (5.5)
2) Уравнение (5.4) заменяем с учетом подстановки (5.5)
или 
(5.6)
3) Интегрируем уравнение (5.6)
(5.7)
В
уравнение (5.7) заменяем
(5.5).
или 
. (5.8)
Интегрируем уравнение (5.8)
,
,
получим общее решение.
Если потребуется найти частное решение, определяем и , подставив начальные условия в общее решение и решив систему уравнений относительно и . Найденные значения и подставляем в общее решение.
Пример 5.2
Найти общее решение
.
Решение
,
,
,
– общее
решение.
Пример 5.3
Найти частное решение
,
если
или
.
Решение
1)
, 
;
2)
, 
;
3)
, 
;
4)
, 
;
5)
– общее
решение.
6)
– частное
решение.
6 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные
однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами широко используются в
технических дисциплинах. Для расчета
электрических схем на дискретных
элементах применяются определенные
законы физики и теории электрических
цепей, основу которых составляют закон
Ома для полной цепи, I
и II
закон Кирхгофа и т.д. Любая электрическая
цепь на дискретных элементах представляет
собой последовательное, параллельное
или смешанное соединение в большинстве
случаев пассивных элементов
,
,
.
В качестве простейшего примера рассмотрим
последовательное соединение трех
основных элементов (рис. 6.1)
Рис. 6.1 – Схема соединения элементов
где 
,
,
.
Здесь
- напряжение на элементах цепи.
-
напряжение на конденсаторе;
-
напряжение на резисторе;
-
напряжение на катушке индуктивности.
Составляем уравнение
или 
.
Преобразуем данное уравнение
.
Если
то получаем дифференциальное уравнение
вида
,
где 
- постоянные коэффициенты.
Линейными дифференциальными уравнениями второго порядка называются уравнения вида
, (6.1)
где 
- постоянные величины,
- непрерывная функция.
Уравнения вида (6.1) называют еще неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка.
Если
,
то уравнение (6.1) принимает вид
. (6.2)
Уравнение
есть линейное однородное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами
и
.
Теорема 1
Если
– решение уравнения (6.2), то и
,
где
– постоянный множитель, также будет
решением данного уравнения.
Доказательство: Найдем I и II производную от функции
,
.
Подставим
в уравнение (6.2) значения
.
Их значения
, (6.3)
Так
как по условию
,
то
,
а поэтому равенство (6.3) тождественно,
то есть
.
А
это означает, что
-
есть решение.
Теорема 2
Если
,
-
решение уравнения (6.2), то сумма
также его решение.
Доказательство: Найдем I и II производную от функции
,
.
Подставим в уравнение (6.2) вместо их значения
,
(6.4)
По условию , - решение уравнения (6.2), следовательно, они удовлетворяют уравнению
,
.
И
так равенство (6.4) тождественно, то есть
,
поэтому
– решение уравнения (6.2).
Решения , называются частными.
Среди частных решений уравнения (6.2) различают
линейно зависимые;
линейно независимые.
Два частные решения уравнения называются линейно зависимыми, если одно из них может быть получено умножением другого на какой-либо постоянный множитель, в противном случае частное решение называют линейно независимым.
Пример
6.1
и
– линейно зависимые частные решения,
так как
,
а
и
– линейно независимые, так как при любом
постоянном
.
Теорема 3
Если и - линейно независимые частные решения уравнения (6.2), то общее решение его будет
, (6.5)
где
и
- произвольные постоянные величины.
Доказательство:
Так как
и
– частные решения уравнения (6.2), то
и
– его решение (теорема 1), поэтому и их
сумма также есть решение (теорема 2).
Общее решение дифференциального уравнения (6.2) должно содержать две произвольные постоянные, а это может быть только в том случае, если в состав решения (6.5) входят два линейно независимых частных решения, в противном случае будет только одна произвольная постоянная, а решение явится не общим, а частным.
Частным линейно-независимыми решениями уравнения (6.2) являются функции вида:
, (6.6)
где 
- произвольное число, которое нужно
найти.
Чтобы найти это значение , продифференцируем функцию
,
.
Подставив в уравнение (6.2) вместо их значения получим
,
так
как
,
то
. (6.7)
Решив
уравнение (6.7) получим два значения
,
которые подставим в функцию (6.6), то есть
.
Таким образом, найдем два частных линейно
независимых решения уравнения (6.2)
и
.
Уравнение (6.7) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для
составления характеристического
уравнения достаточно в уравнение (6.2)
вместо
написать соответственно
.
Рассмотрим следующее решение уравнения (6.2)
1)
– действительные и разные по величине.
Уравнение
(6.2) имеет два линейно независимые частные
решения
,
,
поэтому его общим решением будет
,
2)
– действительные и равны.
Одно
частное решение имеет вид
,
вторым является
.
Докажем это на следующем примере.
,
,
.
Одно
частное решение
,
а другое –
.
Проверим, что
удовлетворяет данному уравнению. Для
этого необходимо для функции
найти I
и II
производную и подставить в данное
уравнение. Общее уравнение имеет вид
.
3)
,
следовательно, корни – комплексные
; 
.
Частным решением уравнения будет
; 
,
однако эти решения можно преобразовать и записать без мнимой единицы
; 
.
Тогда общее решение уравнения примет вид
,
где 
берется только положительное значение.
Пример
6.2 Решить уравнение
.
Составляем характеристическое уравнение
,
.
– общее
решение.
Пример
6.3
.
,
.
Составляем характеристическое уравнение
,
,
или 
.
Пример
6.4
.
,
,
,
.
Пример
6.5 Найти частное решение
,
если при
.
Общее решение имеет вид
.
Находим производную от общего решения
.
Составим систему
Решив
систему, получаем
.
Тогда
частное решение имеет вид
.