2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1 Уравнения, у которых переменные разделяются, называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.

Математическая запись:

или .

Уравнения с разделяющимися переменными впервые исследовал Лейбниц и его ученики. Название ввел Эйлер.

2 Рассмотрим алгоритм (правило) решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными:

1) заменить в уравнении производную дифференциалом (если это нужно);

2) записать дифференциалы в разных частях равенства

;

3) умножить или разделить обе части уравнения на такое выражение, чтобы переменные находились при «своих» дифференциалах

;

4) проинтегрировать полученное уравнение и найти его общее решение

;

5) найти частное решение (задача Коши), если это нужно.

Пример 2.1 Решить уравнение .

Разделим дифференциалы

.

Проинтегрируем

.

,

,

,

где - производная постоянная.

Графиками этих функций при являются параболы с вершиной в начале координат, а при - прямая (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Пример 2.2 Найти частное решение , если при .

Заменим ;

.

Запишем дифференциалы в разных частях уравнения

;

,

.

Подставив начальные условия , , найдем чему равно

,

.

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

.

Пример 2.3 Найти общее решение , .

,

,

.

Интегрируем обе части

,

или ,

,

.

Пример 2.4 , где ; .

,

,

,

,

,

,

,

; ,

,

.

.

Ответ: .

Пример 2.5 .

,

; ,

,

,

,

.

Пример 2.6 .

,

,

,

.

Примеры для самостоятельной работы

I Найти общее решение уравнений

1)  , Ответ: ;

2)  , Ответ: ;

3)  , Ответ: ;

4)  , Ответ: .

II Найти частное решение или решить задачу Коши

1)  , если при , . Ответ: ;

2)  , если при , . Ответ: ;

3)  , если при , . Ответ: .

3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

, (3.1)

где и – непрерывные функции в некотором интервале.

Если функция тождественно равна нулю, то уравнение

(3.2)

называется однородным, при – неоднородным.

Уравнение (3.2) – уравнение с разделяющимися переменными, решение которых изучено раньше.

Уравнение (3.1) интегрируется с помощью подстановки , которая разбивает уравнение (3.1) на два дифференцируемых уравнения с разделяющимися переменными, где функции и имеют непрерывные производные и .

Алгоритм решения

1) Задано линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

2) Производную функции заменяем через дифференциал, то есть . Тогда уравнение (3.1) имеет вид

. (3.3)

3) Введём подстановку

(3.4)

и найдем производную, которую решаем через дифференциал.

. (3.5)

4) Выражения (3.4) и (3.5) подставим в уравнение (3.3)

. (3.6)

5) Сгруппируем члены в левой части равенства.

. (3.7)

6) Определяем функцию так, чтобы коэффициент при обратился в нуль

. (3.8)

7) Уравнение (3.8) рассматривается как первое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое решается относительно . При решении уравнения (3.8) произвольная постоянная не пишется.

Интегрируем это уравнение

. (3.9)

Функция (3.9) есть частное решение уравнения (3.8).

8) Объединяем оставшуюся часть уравнения (3.7) и подставляем вместо значение (3.9)

.

Тогда

. (3.10)

9) Уравнение (3.10) – это второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое решается относительно функции , то есть

. (3.11)

10) Найденные значения и подставляем в подстановку (3.4) и получаем общее решение.

Данный метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка называется методом Бернулли.

Пример 3.1 Решить уравнение вида , где .

Решение

Преобразуем данное уравнение.

Разделим обе части уравнения на

, .

Применим подстановку и найдём производную и подставим в уравнение

.

Сгруппируем члены в левой части равенства

.

Выражение в скобках приравнивается к нулю

, , .

Интегрируем это уравнение

, , , .

Объединяем оставшуюся часть уравнения и вместо подставляем значение 

, , , .

Интегрируем данное уравнение

, .

Подставляем в подстановку их новое значение и получаем общее решение в виде функции .

Пример 3.2 Найти частное решение уравнения , где , удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение

Разделим обе части уравнения на

.

Применим подстановку и найдём производную .

Подставим эти значения и в данное уравнение, получим

.

Сгруппируем члены в левой части уравнения

.

Выражение в скобках приравниваем к нулю

.

Решаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

, .

Интегрируем это уравнение и находим частное решение

, , , .

Полученное значение подставляем в оставшуюся часть уравнения

, , ,

, .

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет такой вид:

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Если при , то

, .

Тогда частное решение имеет вид

.