Примеры для самостоятельной работы
I Решить уравнения
1)
,
2)
,
3)
,
4)
.
II Найти частное решение следующих уравнений
1)
,
если
;
2)
,
если
;
3)
,
если
;
4)
,
если
.
4 Однородныедифференциальные уравнения первого порядка
Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
, (4.1)
если
коэффициенты
и
являются однородными функциями одинаковой
степени.
Однородным многочленом относительно и называется многочлен, все члены которого имеют одинаковую степень.
Например:
– многочлен третей степени;
– многочлен второй степени;
– многочлен первой степени.
Это уравнение решается путём подстановки
,
где 
– новая функция от
,
то есть
.
Данная функция приводит уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, которое решается относительно .
Алгоритм решения
1) Дано однородное дифференциальное уравнение первого порядка
.
2) Запишем данное уравнение в виде
. (4.2)
В правой части равенства (4.2) стоит однородная функция нулевой степени как отношение двух однородных функций одинаковых степеней.
Применив в правой части преобразование, получим уравнение
. (4.3)
3) Введём подстановку , откуда
. (4.4)
4) Найдём производную функции
и запишем её через дифференциал
. (4.5)
5) Выражения (4.4) и (4.5) подставим в уравнение (4.3)
или
(4.6)
6) После разделения переменных получим
. (3.7)
7) Интегрируем обе части уравнения
. (4.8)
Находим общее решение уравнения.
8) После интегрирования выполняется обратное решение .
9) Если необходимо, то находим частное решение.
Пример 4.1
Решить уравнение вида
.
Решение
При
дифференцировании
и
находится
многочлен второй степени.
Преобразуем однородное дифференциальное уравнение
.
Введём подстановку , где .
Находим производную от подстановки
и подставим в уравнение
.
Правую часть уравнения сократим на и получим уравнение вида
.
Преобразуем уравнение и решим её как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно .
.
Перенесём в правую часть уравнения
, 
Разделяем дифференциалы
,
Интегрируем обе части равенства
,
,
,
,
– это
общее решение, в которое вместо
,
то есть
.
Пример 4.2
Проинтегрировать уравнение
и найти частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям
при
.
Решение
Данное уравнение преобразуем относительно производной
.
В правой части уравнения функция однородная первой степени.
Применим
подстановку
и найдём производную
.
В уравнение вместо и подставим их новые значения. Получим уравнение с разделяющимися переменными, которое решается относительно
.
Упростим уравнение
.
Перенесём в правую часть уравнения
, 
.
Разделяем дифференциалы
.
Получаем соответствия дифференциалов и их переменных
.
Интегрируем обе части уравнения
,
,
,
.
Найдём частное решение
,
.
Тогда частное решение имеет вид
.
Примеры для самостоятельной работы
I Решить уравнения
1)
,
2)
,
3)
.
II Найти частное решение следующих уравнений
1)
,
если
;
2)
,
если
;
3)
,
если
.